প্রতিটি 0.1 kg ভরের 2টি ইস্পাত গোলক একটি সরু রড দ্বারা যুক্ত। রডটির দৈর্ঘ্য 0.2 m. গোলক দুটি রডের মধ্য বিন্দুগামী উলম্ব অক্ষ সাপেক্ষে 2 $\mathrm{\pi }$ $rad{s}^{-1}$ কৌণিক বেগে ঘূর্ণায়মান। গোলক দুটির মোট কৌণিক ভরবেগ কত $kg{m}^{-2}{s}^{-1}?$

     চলন গতির ক্ষেত্রে আমরা দেখেছি m ভরের কোনো বস্তু $\overrightarrow{v}$  বেগে গতিশীল হলে তার ভরবেগ তথা রৈখিক ভরবেগ $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{v}$ একটি গুরুত্বপূর্ণ রাশি। ঘূর্ণনগতির ক্ষেত্রে ভরবেগের অনুরূপ রাশি হচ্ছে কৌণিক ভরবেগ। কোনো বিন্দুর m সাপেক্ষে ভরবেগের ভ্রামকই হচ্ছে কণাটির কৌণিক ভরবেগ।

    সংজ্ঞা : কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে ঘূর্ণায়মান কোনো কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং ভরবেগের ভেক্টর গুণফলকে ঐ বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগ বলে।

   ব্যাখ্যা : ঘূর্ণন কেন্দ্রের সাপেক্ষে কোনো কণার ব্যাসার্ধ ভেক্টর বা অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{r}$ এবং ঐ কণার ভরবেগ হলে, $\overrightarrow{p}$ বিন্দুর সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগ হচ্ছে,

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$... (4.32)

ঘূর্ণন কেন্দ্র থেকে দূরত্বে কোনো কণার ভরবেগ p হলে ঐ বিন্দুর সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগের মান L হবে-

L = rp sin$\theta$

বা, L = pr sin$\theta$

এখানে $\theta$ হচ্ছে  $\overrightarrow{r}$ এবং '$\overrightarrow{p}$  এর অন্তর্ভুক্ত কোণ। কিন্তু r sin $\theta$ হচ্ছে ঘূর্ণন কেন্দ্র থেকে ভরবেগের ক্রিয়া রেখার লম্ব দূরত্ব (চিত্র : ৪-১৮)। সুতরাং কোনো কণার ভরবেগ এবং ঘূর্ণন কেন্দ্র থেকে ভরবেগের ক্রিয়ারেখার লম্ব দূরত্বের গুণফলই হচ্ছে ঐ বিন্দুর সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগের মান ।

 দিক : কৌণিক ভরবেগ একটি ভেক্টর রাশি। এর দিক  $\overrightarrow{r}$×$\overrightarrow{p}$এর দিকে।

একটি ডানহাতি স্কুকে $\overrightarrow{r}$ এবং '$\overrightarrow{p}$এর সমতলে লম্বভাবে স্থাপন করে  $\overrightarrow{r}$ থেকে '$\overrightarrow{p}$ এর দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে।

মাত্রা ও একক : কৌণিক ভরবেগের মাত্রা হচ্ছে ভরবেগ × দূরত্বের মাত্রা অর্থাৎ ML²T^-1 এবং এর একক হচ্ছে kg m²s^-1

তাৎপর্য : কোনো বস্তুর কৌণিক ভরবেগ 30 kg ms^-1 বলতে বোঝায় ঐ বস্তুর কৌণিক ভরবেগ 1 kgm²

জড়তার ভ্রামকবিশিষ্ট কোনো বস্তুর কৌণিক বেগ 30 rad s^-1 হলে যে কৌণিক ভরবেগ হবে তার সমান।

বি: দ্র: কোনো অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান দৃঢ় বস্তুর কৌণিক ভরবেগ হয় ঐ ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে।

কৌণিক ভরবেগ ও কৌণিক বেগের সম্পর্ক

    ধরা যাক, একটি বস্তু কোনো একটি অক্ষের সাপেক্ষে $\omega$ সমকৌণিক দ্রুতিতে ঘূর্ণায়মান। উক্ত বস্তুর যেকোনো একটি কণার ভর m₁ ঘূর্ণন অক্ষ থেকে কণাটির লম্ব দূরত্ব r₁ এবং কণাটির বেগ v₁ হলে

   ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কণাটির কৌণিক ভরবেগ, P₁r₁ = m₁v₁r₁

=m₁ $\omega$r²₁  [ :- v₁ = $\omega$ r₁ ]

= $\omega$ m₁r²₁

   অনুরূপে ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে m₂ ভরের কৌণিক ভরবেগ = $\omega$ m₂r²₁। এভাবে প্রতিটি বস্তুকণার জন্য কৌণিক = ভরবেগ বের করে তাদের সমষ্টি নিলে সম্পূর্ণ বস্তুটির কৌণিক ভরবেগ L পাওয়া যাবে।

L= ωm₁r₁² + ωm₂r₂² +  ωm₃r₃²+...…

= ω ( m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² +…..)

$=\omega \sum m_1{r^2}_1$

=$\omega I$….. (4.33)

বা, $L=I\omega =I\frac{d\theta }{dt}$

  :- এখানে I হলো ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামক . কৌণিক ভরবেগ = জড়তার ভ্রামক x কৌণিক বেগ।