প্রত্যেক সংখ্যায় কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 6,5,2,3,0 দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?

পাঁচটি অঙ্ক 6, 5, 2, 3, 0 ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হবে, যেখানে প্রত্যেক অঙ্ক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করা যাবে।

প্রথমত, একটি পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করতে হলে leftmost (বামদিকের) অঙ্কটি 0 হতে পারবে না।

প্রদত্ত অঙ্কগুলো হলো: 6, 5, 2, 3, 0। মোট অঙ্ক সংখ্যা \(n = 5\)।

পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করার জন্য, আমরা পর্যায়ক্রমে প্রতিটি স্থানের জন্য কতগুলো বিকল্প আছে তা বিবেচনা করব:

১. প্রথম স্থানের জন্য (হাজারের ঘর):

প্রথম স্থানে 0 বসতে পারবে না। কারণ 0 বসলে সেটি চার অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হয়ে যাবে।

সুতরাং, প্রথম স্থানের জন্য আমরা 6, 5, 2, 3 এই চারটি অঙ্কের যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারি।

বিকল্প সংখ্যা = 4টি।

২. দ্বিতীয় স্থানের জন্য (শতকের ঘর):

প্রথম স্থানে একটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়ে গেছে। এখন অবশিষ্ট আছে 4টি অঙ্ক। এই 4টি অঙ্কের মধ্যে 0 ও আছে।

সুতরাং, দ্বিতীয় স্থানের জন্য 4টি বিকল্প (প্রথম স্থানে ব্যবহৃত অঙ্কটি বাদে বাকি 3টি অঙ্ক এবং 0)।

বিকল্প সংখ্যা = 4টি।

৩. তৃতীয় স্থানের জন্য (দশকের ঘর):

প্রথম দুটি স্থানে দুটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়ে গেছে। অবশিষ্ট আছে \(5 - 2 = 3\)টি অঙ্ক।

সুতরাং, তৃতীয় স্থানের জন্য 3টি বিকল্প।

বিকল্প সংখ্যা = 3টি।

৪. চতুর্থ স্থানের জন্য (এককের ঘর):

প্রথম তিনটি স্থানে তিনটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়ে গেছে। অবশিষ্ট আছে \(5 - 3 = 2\)টি অঙ্ক।

সুতরাং, চতুর্থ স্থানের জন্য 2টি বিকল্প।

বিকল্প সংখ্যা = 2টি।

৫. পঞ্চম স্থানের জন্য:

প্রথম চারটি স্থানে চারটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়ে গেছে। অবশিষ্ট আছে \(5 - 4 = 1\)টি অঙ্ক।

সুতরাং, পঞ্চম স্থানের জন্য 1টি বিকল্প।

বিকল্প সংখ্যা = 1টি।

মোট অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়:

\(4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96\)

বিকল্প পদ্ধতি (Permutation ব্যবহার করে):

মোট 5টি অঙ্ককে ব্যবহার করে 5টি ভিন্ন ভিন্ন স্থানে সাজানো যায় \(5!\) উপায়ে, যদি 0 প্রথম স্থানে বসতে পারতো।

\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

এখন, সেই সংখ্যাগুলো বাদ দিতে হবে যেখানে 0 প্রথম স্থানে বসেছে। যদি 0 প্রথম স্থানে বসে, তবে বাকি 4টি অঙ্ক (6, 5, 2, 3) দিয়ে বাকি 4টি স্থান পূরণ করতে হবে।

এটি করা যায় \(4!\) উপায়ে।

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

সুতরাং, মোট পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (যে বিন্যাসগুলোতে 0 প্রথম স্থানে)

\(= 5! - 4!\)

\(= 120 - 24\)

\(= 96\)

অতএব, 96টি অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়।