বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি-

বিস্তারিত সমাধান:

একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলা হয়। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো এর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়, অর্থাৎ তাদের যোগফল ১৮০° (পাই রেডিয়ান) হয়।

অন্যদিকে, একটি সামান্তরিকের (Parallelogram) বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।

যখন একটি সামান্তরিককে বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত করা হয়, তখন সেটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়ে যায় এবং উভয় শর্তই পূরণ করতে হয়।

ধরি, সামান্তরিকটির চারটি কোণ হলো A, B, C এবং D।

    
• সামান্তরিকের ধর্ম অনুযায়ী: \(\angle A = \angle C\) এবং \(\angle B = \angle D\)।
    
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ধর্ম অনুযায়ী: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) এবং \(\angle B + \angle D = 180^\circ\)।

এখন, যেহেতু \(\angle A = \angle C\) এবং \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), তাই আমরা লিখতে পারি:

\(\angle A + \angle A = 180^\circ\)

\(2\angle A = 180^\circ\)

\(\angle A = \frac{180^\circ}{2}\)

\(\angle A = 90^\circ\)

একইভাবে, \(\angle C = 90^\circ\)। যেহেতু সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলোর যোগফলও ১৮০°, তাই \(\angle A + \angle B = 180^\circ\)।

\(90^\circ + \angle B = 180^\circ\)

\(\angle B = 180^\circ - 90^\circ\)

\(\angle B = 90^\circ\)

এবং \(\angle D = 90^\circ\)।

সুতরাং, বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ 90° হয়। যে সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ (90°) হয়, তাকে আয়তক্ষেত্র (Rectangle) বলে। তাই, বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক সর্বদা একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

অন্যান্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:

    
• বর্গক্ষেত্র (Square): বর্গক্ষেত্র একটি বিশেষ ধরনের আয়তক্ষেত্র যেখানে চারটি বাহুও সমান। একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক সবসময় বর্গক্ষেত্র নাও হতে পারে, কারণ এর বাহুগুলো সমান নাও হতে পারে। তবে এটি সর্বদা একটি আয়তক্ষেত্র।
    
• রম্বস (Rhombus): রম্বসের চারটি বাহু সমান, কিন্তু এর কোণগুলো সমকোণ নাও হতে পারে। যদি একটি রম্বস বৃত্তের অন্তর্লিখিত হয়, তবে তার কোণগুলো অবশ্যই ৯০° হতে বাধ্য, যা এটিকে একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত করবে। কিন্তু সাধারণভাবে, একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক রম্বস নাও হতে পারে যদি এর বাহুগুলো অসমান হয়।
    
• ট্রাপিজিয়াম (Trapezium): ট্রাপিজিয়াম একটি চতুর্ভুজ যার অন্তত একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল। কিন্তু এটি সামান্তরিকের সংজ্ঞায় পড়ে না, কারণ এর বিপরীত কোণগুলো সমান নাও হতে পারে বা উভয় জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল নাও হতে পারে। তাই এটি ভুল।