ভূপৃষ্ঠ হতে m ভরের একটি বস্তুকে কমপক্ষে কত বেগে সোজা উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে সেটি আর ফিরে আসবে না?

ভূপৃষ্ঠ হতে একটি বস্তুকে এমন সর্বনিম্ন বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে, যা দ্বারা বস্তুটি পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে চিরতরে বাইরে চলে যায় এবং আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না, সেই বেগকে মুক্তি বেগ (Escape Velocity) বলা হয়।

মুক্তি বেগের রাশিমালা নির্ণয়ের জন্য আমরা শক্তির নিত্যতা সূত্র (Conservation of Energy) ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, পৃথিবীর ভর \(M\), ব্যাসার্ধ \(R\)। একটি \(m\) ভরের বস্তুকে মুক্তি বেগে \(v_e\) তে ভূপৃষ্ঠ থেকে নিক্ষেপ করা হলো।

ভূপৃষ্ঠে বস্তুর মোট শক্তি:

    
• গতিশক্তি \(K_i = \frac{1}{2}mv_e^2\)
    
• মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি \(U_i = -\frac{GMm}{R}\)
    
• মোট শক্তি \(E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R}\)

বস্তুটি যখন মহাকর্ষীয় আকর্ষণের বাইরে অসীমে পৌঁছায়, তখন তার:

    
• গতিশক্তি \(K_f = 0\) (সর্বনিম্ন বেগে নিক্ষেপ করা হয়েছে, তাই অসীমে পৌঁছানোর পর গতিশক্তি শূন্য ধরা হয়)
    
• মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি \(U_f = 0\) (অসীমে বিভব শক্তি শূন্য ধরা হয়)
    
• মোট শক্তি \(E_f = K_f + U_f = 0\)

শক্তির নিত্যতা সূত্র অনুসারে, আদি মোট শক্তি এবং শেষ মোট শক্তি সমান হবে:

\(E_i = E_f\)

\(\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0\)

\(\frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GMm}{R}\)

উভয় পক্ষ থেকে \(m\) বাতিল করে:

\(\frac{1}{2}v_e^2 = \frac{GM}{R}\)

\(v_e^2 = \frac{2GM}{R}\)

\(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)

আমরা জানি, পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = \frac{GM}{R^2}\)।

এখান থেকে আমরা পাই \(GM = gR^2\)।

\(GM\) এর এই মানটি মুক্তি বেগের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(v_e = \sqrt{\frac{2(gR^2)}{R}}\)

\(v_e = \sqrt{2gR}\)

সুতরাং, ভূপৃষ্ঠ হতে একটি বস্তুকে \(\sqrt{2gR}\) বেগে সোজা উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে সেটি আর ফিরে আসবে না।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, 3 নং অপশনটি এই রাশিমালার সাথে মিলে যায়।