যদি $9x^2 - 15x + 12 = 0$ হয়, তবে $27x^3 + \frac{1}{27x^3}$ এর মান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত প্রশ্নে একটি মুদ্রণজনিত ভুল রয়েছে (সমীকরণটিতে ধ্রুবক পদ \(12\) এর স্থলে \(1\) অর্থাৎ \(9x^2 - 15x + 1 = 0\) হবে)। সঠিক সমীকরণটি বিবেচনা করে নিচে সমাধান করা হলো:

দেওয়া আছে,
\(9x^2 - 15x + 1 = 0\)

উভয় পক্ষকে \(3x\) দ্বারা ভাগ করে পাই,
\(\frac{9x^2}{3x} - \frac{15x}{3x} + \frac{1}{3x} = 0\)
\(\Rightarrow 3x - 5 + \frac{1}{3x} = 0\)
\(\Rightarrow 3x + \frac{1}{3x} = 5\)

এখন, প্রদত্ত রাশি:
\(27x^3 + \frac{1}{27x^3}\)
\(= (3x)^3 + \left(\frac{1}{3x}\right)^3\)

বীজগণিতীয় অনুসিদ্ধান্ত \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\) প্রয়োগ করে পাই,
\(= \left(3x + \frac{1}{3x}\right)^3 - 3 \cdot 3x \cdot \frac{1}{3x} \left(3x + \frac{1}{3x}\right)\)
\(= (5)^3 - 3 \cdot 1 \cdot (5)\)
\(= 125 - 15\)
\(= 110\)

নোট: প্রশ্নটিতে প্রদত্ত শর্ত \(9x^2 - 15x + 12 = 0\) ধরে এগোলে অপশনগুলোর সাথে মান মিলে না। ধ্রুবক পদটি \(1\) হলে সঠিক উত্তর ১১০ হয়।

যদি \(3x + \frac{1}{3x} = p\) হয়, তবে \((3x)^3 + \frac{1}{(3x)^3} = p^3 - 3p\)

এখানে, \(p = 5\)

অতএব, নির্ণেয় মান \(= 5^3 - 3(5) = 125 - 15 = 110\)