যদি $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$ হয়, তবে $f^{-1}\left(x\right)$ er কোডোমেন কোনটি? (If $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3},$ then which one of the following is the codomain $f^{-1}\left(x\right)$?)

বিপরীত ফাংশনের ডোমেন এবং রেঞ্জ মূল ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জের বিপরীত হয়। অর্থাৎ, মূল ফাংশনের রেঞ্জ বিপরীত ফাংশনের ডোমেন এবং মূল ফাংশনের ডোমেন বিপরীত ফাংশনের রেঞ্জ হয়ে যায়।

ডোমেন এবং রেঞ্জের সম্পর্ক

১. বিপরীত ফাংশনের ডোমেন: মূল ফাংশনের রেঞ্জ যা আউটপুট হিসেবে পাওয়া যায়, সেটিই বিপরীত ফাংশনের ডোমেন হবে।

২. বিপরীত ফাংশনের রেঞ্জ: মূল ফাংশনের ডোমেন যা ইনপুট হিসেবে ব্যবহৃত হয়, সেটিই বিপরীত ফাংশনের রেঞ্জ হবে।

উদাহরণ

ধরা যাক, \( f(x) = 2x + 3 \) একটি ফাংশন, যার ডোমেন এবং রেঞ্জ হলো সব বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)।

এর বিপরীত ফাংশন হলো \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)।

এই ক্ষেত্রে:

• মূল ফাংশন \( f(x) \)-এর ডোমেন সব বাস্তব সংখ্যা \( \mathbb{R} \), যা বিপরীত ফাংশন \( f^{-1}(x) \)-এর রেঞ্জ হবে।
• মূল ফাংশন \( f(x) \)-এর রেঞ্জ সব বাস্তব সংখ্যা \( \mathbb{R} \), যা বিপরীত ফাংশন \( f^{-1}(x) \)-এর ডোমেন হবে।

সংক্ষেপে:

• মূল ফাংশনের ডোমেন → বিপরীত ফাংশনের রেঞ্জ
• মূল ফাংশনের রেঞ্জ → বিপরীত ফাংশনের ডোমেন

এই নিয়মটি মূল ফাংশন ও বিপরীত ফাংশনের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক তৈরি করে।