যদি $f\left(x\right)=x^2-1$ এবং $g\left(x\right) = \sqrt{x}$ হয়, তাহলে (g of)(x) এর ডোমেন কোনটি? (if $f\left(x\right)=x^2-1$ and $g\left(x\right) = \sqrt{x}$ then what is the domain of (g of) (x)?)

ফাংশনের ডোমেন (Domain) এবং রেঞ্জ (Range) হলো ফাংশনের দুটি প্রধান বৈশিষ্ট্য।

ডোমেন (Domain)

ডোমেন হলো ফাংশনের সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুট মানগুলোর সেট। অর্থাৎ, ফাংশনের যে মানগুলো ইনপুট হিসেবে নেওয়া যাবে, তাদের সমষ্টিকেই ফাংশনের ডোমেন বলা হয়। সাধারণত ডোমেন নির্ধারণ করতে হলে দেখতে হয় যে ফাংশনটির জন্য কোন ইনপুটগুলো গ্রহণযোগ্য।

উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি ফাংশন \(f(x) = \frac{1}{x - 1}\)। এই ফাংশনের ডোমেন হবে সব রিয়াল সংখ্যা, তবে \(x = 1\) বাদে, কারণ \(x = 1\) হলে \(f(x)\) অসীম হয়ে যায়। তাই, ডোমেন হবে \(x \neq 1\)।

রেঞ্জ (Range)

রেঞ্জ হলো ফাংশনের আউটপুটের সমস্ত সম্ভাব্য মানের সেট। অর্থাৎ, ডোমেন থেকে ইনপুট নেওয়ার পর যে মানগুলো ফাংশন থেকে আউটপুট হিসেবে পাওয়া যায়, তাদের সমষ্টিকে রেঞ্জ বলা হয়।

উদাহরণ:
ধরা যাক, \(g(x) = x^2\) একটি ফাংশন যেখানে \(x\) এর মান সব রিয়াল সংখ্যা হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, \(g(x)\) এর আউটপুট সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্য হবে, কারণ কোনো সংখ্যার বর্গ কখনো ঋণাত্মক হয় না। সুতরাং, এই ফাংশনের রেঞ্জ হবে শূন্য বা ধনাত্মক সব সংখ্যা, অর্থাৎ, \(y \geq 0\)।

এইভাবে, ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ ফাংশনের ইনপুট এবং আউটপুটের সীমাবদ্ধতা এবং সুযোগ নির্ধারণ করে।