যোগজ নির্ণয় কর (Integrate): $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$

প্রদত্ত যোগজটি হলো:
\(I = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 1}}\)

ধরি, \(x = \tan \theta\)
উভয় পক্ষকে \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
\(dx = \sec^2 \theta \, d\theta\)

এখন মানগুলো মূল রাশিতে বসিয়ে পাই:
\(I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan \theta \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}\)

আমরা জানি, \(\sqrt{\tan^2 \theta + 1} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta\)
\(I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan \theta \cdot \sec \theta}\)
\(I = \int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} \, d\theta\)

\(\sec \theta\) ও \(\tan \theta\)-কে \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\)-তে রূপান্তর করে পাই:
\(\frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{1/\cos \theta}{\sin \theta / \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta\)

সুতরাং,
\(I = \int \csc \theta \, d\theta\)
\(I = \ln |\csc \theta - \cot \theta| + c\)

যেহেতু \(x = \tan \theta\), তাই:
\(\cot \theta = \frac{1}{x}\)
\(\csc \theta = \sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}\)

মানগুলো বসিয়ে পাই:
\(I = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} - \frac{1}{x} \right| + c\)
\(I = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x} \right| + c\)

অথবা বিকল্প নিয়মে এর মান \(-\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \right| + c\) আকারেও লেখা যায়।

যেহেতু নির্ণেয় যোগজের মান প্রদত্ত অপশন ১, ২ বা ৩ কোনোটির সাথেই মিলে না, তাই সঠিক উত্তরটি হবে None of these।