রহিম, করিম ও গাজী তিন জনে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে ১৫,৬ এবং ১০ দিনে। একত্রে তিন জনে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

বিস্তারিত সমাধান:

এই ধরনের সময় ও কাজের সমস্যা সমাধানের জন্য, প্রথমে প্রত্যেকের ১ দিনের কাজের পরিমাণ বের করতে হবে। কাজের হার (Work Rate) হলো ১ দিনে একজন ব্যক্তি কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে।

    
• রহিম কাজটি ১৫ দিনে করতে পারে। অতএব, রহিম ১ দিনে কাজটির \(\frac{১}{১৫}\) অংশ করে।
    
• করিম কাজটি ৬ দিনে করতে পারে। অতএব, করিম ১ দিনে কাজটির \(\frac{১}{৬}\) অংশ করে।
    
• গাজী কাজটি ১০ দিনে করতে পারে। অতএব, গাজী ১ দিনে কাজটির \(\frac{১}{১০}\) অংশ করে।

এখন, তিন জনে একত্রে ১ দিনে মোট কত অংশ কাজ করে, তা বের করতে হবে। এর জন্য তাদের প্রত্যেকের ১ দিনের কাজের হার যোগ করতে হবে:

একত্রে ১ দিনের কাজ = \(\frac{১}{১৫} + \frac{১}{৬} + \frac{১}{১০}\)

ভগ্নাংশগুলো যোগ করার জন্য, এদের হরগুলোর ল.সা.গু. (সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক) নির্ণয় করতে হবে। ১৫, ৬ এবং ১০ এর ল.সা.গু. হলো ৩০।

এখন প্রতিটি ভগ্নাংশকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে:

    
• \(\frac{১}{১৫} = \frac{১ \times ২}{১৫ \times ২} = \frac{২}{৩০}\)
    
• \(\frac{১}{৬} = \frac{১ \times ৫}{৬ \times ৫} = \frac{৫}{৩০}\)
    
• \(\frac{১}{১০} = \frac{১ \times ৩}{১০ \times ৩} = \frac{৩}{৩০}\)

এখন, ভগ্নাংশগুলো যোগ করুন:

একত্রে ১ দিনের কাজ = \(\frac{২}{৩০} + \frac{৫}{৩০} + \frac{৩}{৩০}\)

= \(\frac{২ + ৫ + ৩}{৩০}\)

= \(\frac{১০}{৩০}\)

= \(\frac{১}{৩}\) অংশ

অর্থাৎ, রহিম, করিম ও গাজী একত্রে ১ দিনে কাজটির \(\frac{১}{৩}\) অংশ সম্পন্ন করে।

যদি তারা ১ দিনে কাজের \(\frac{১}{৩}\) অংশ করতে পারে, তাহলে সম্পূর্ণ কাজটি (অর্থাৎ ১ অংশ) করতে তাদের মোট সময় লাগবে:

মোট সময় = \(\frac{১}{\text{একত্রে ১ দিনের কাজ}}\) দিন

= \(\frac{১}{\frac{১}{৩}}\) দিন

= \(১ \times ৩\) দিন

= \(৩\) দিন

সুতরাং, একত্রে তিন জনে কাজটি ৩ দিনে করতে পারবে।