সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো:

    
• প্রথম ভগ্নাংশ: \( \frac{৯}{৪} \)
    
• দ্বিতীয় ভগ্নাংশ: \( \frac{৬}{৭} \)
    
• তৃতীয় ভগ্নাংশ: \( \frac{৭}{৮} \)
    
• চতুর্থ ভগ্নাংশ: \( \frac{১১}{১২} \)

ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে ছোট তা নির্ণয় করার জন্য আমরা প্রথমে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ এবং প্রকৃত ভগ্নাংশ আলাদা করব।

১. \( \frac{৯}{৪} \) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ কারণ এর লব (৯) হর (৪) থেকে বড়। এটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে হয় \( ২\frac{১}{৪} \) বা দশমিকে \( ২.২৫ \)। এটি ১ এর চেয়ে বড়।

২. বাকি ভগ্নাংশগুলো, \( \frac{৬}{৭}, \frac{৭}{৮}, \frac{১১}{১২} \) হলো প্রকৃত ভগ্নাংশ কারণ এদের লব হর থেকে ছোট। এই ভগ্নাংশগুলো ১ এর চেয়ে ছোট।

যেহেতু \( \frac{৯}{৪} \) (বা \( ২.২৫ \)) অন্য ভগ্নাংশগুলো (যা ১ এর চেয়ে ছোট) থেকে বড়, তাই এটি সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ হতে পারে না।

এখন আমরা প্রকৃত ভগ্নাংশগুলো \( \frac{৬}{৭}, \frac{৭}{８}, \frac{১১}{১২} \) তুলনা করব। ভগ্নাংশগুলো তুলনা করার জন্য আমরা তাদের হরগুলোর ল.সা.গু. (লসাগু) বের করে প্রত্যেক ভগ্নাংশকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করব।

হরগুলো হলো ৭, ৮ এবং ১২।

৭ = \( ৭ \)

৮ = \( ২ \times ২ \times ২ \)

১২ = \( ২ \times ২ \times ৩ \)

৭, ৮ এবং ১২ এর ল.সা.গু. = \( ২ \times ২ \times ২ \times ৩ \times ৭ = ১৬৮ \)

এখন, প্রতিটি ভগ্নাংশকে ১৬৮ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\( \frac{৬}{৭} = \frac{৬ \times ২৪}{৭ \times ২৪} = \frac{১৪৪}{১৬৮} \)

\( \frac{৭}{８} = \frac{৭ \times ২১}{８ \times ২১} = \frac{১৪৭}{১৬৮} \)

\( \frac{১১}{১২} = \frac{১১ \times ১৪}{১২ \times ১৪} = \frac{১৫৪}{১৬৮} \)

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো \( \frac{১৪৪}{১৬৮}, \frac{১৪৭}{১৬৮}, \frac{১৫৪}{১৬৮} \)।

এদের মধ্যে যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে ছোট, সেটিই সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ। এখানে লবগুলো হলো ১৪৪, ১৪৭ এবং ১৫৪। সবচেয়ে ছোট লব হলো ১৪৪।

সুতরাং, \( \frac{১৪৪}{১৬৮} \) সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশটি মূল \( \frac{৬}{৭} \) ভগ্নাংশের সমতুল্য।

অতএব, প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে \( \frac{৬}{৭} \) হলো সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ।