সমতলীয় ভেক্টরের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

সমতলে ভেক্টরের অংশক বলতে বোঝানো হয়, একটি ভেক্টরকে \( x \)-অক্ষ এবং \( y \)-অক্ষ বরাবর বিভক্ত করা। সমতল বলতে ২-মাত্রিক স্থান বোঝানো হয়, যেখানে একটি ভেক্টরকে \( i \) এবং \( j \) একক ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। \( x \)-অক্ষ বরাবর অংশককে \( x \)-অংশক এবং \( y \)-অক্ষ বরাবর অংশককে \( y \)-অংশক বলা হয়। এই অংশকগুলো ভেক্টরের প্রকৃত দিক এবং মান নির্দেশ করে।

সমতলে ভেক্টরের উপস্থাপন

ধরা যাক, একটি ভেক্টর \( \vec{A} \), যা \( x \)-অক্ষ বরাবর \( A_x \) এবং \( y \)-অক্ষ বরাবর \( A_y \) মান রাখে। তাহলে ভেক্টর \( \vec{A} \) কে \( x \) এবং \( y \)-অক্ষ বরাবর বিভক্ত করে প্রকাশ করা যায়:

\[
\vec{A} = A_x i + A_y j
\]

এখানে,

• \( A_x \): ভেক্টরের \( x \)-অংশক বা \( x \)-অক্ষ বরাবর অংশ।
• \( A_y \): ভেক্টরের \( y \)-অংশক বা \( y \)-অক্ষ বরাবর অংশ।
• \( i \): \( x \)-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
• \( j \): \( y \)-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি ভেক্টর \( \vec{A} \), যার \( x \)-অংশক \( 4 \) এবং \( y \)-অংশক \( 3 \)। তাহলে ভেক্টর \( \vec{A} \) প্রকাশ করা যাবে:

\[
\vec{A} = 4 i + 3 j
\]

মান (Magnitude) নির্ণয়

ভেক্টর \( \vec{A} \)-এর মান বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হলে, আমরা পাইথাগোরাস তত্ত্ব ব্যবহার করি:

\[
|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
\]

এই উদাহরণে,
\[
|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

অতএব, ভেক্টর \( \vec{A} \)-এর মান বা দৈর্ঘ্য হলো ৫।

দিক নির্ণয়

ভেক্টরের দিক নির্ণয় করতে হলে আমরা \( \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} \) সূত্র ব্যবহার করতে পারি, যেখানে \( \theta \) হলো ভেক্টরের \( x \)-অক্ষের সাথে কোণ। উদাহরণস্বরূপ:

\[
\tan \theta = \frac{3}{4}
\]
\[
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ
\]

সারাংশ

সমতলে একটি ভেক্টরকে \( x \)-অংশক ও \( y \)-অংশক হিসেবে ভাগ করা যায়, যা \( i \) এবং \( j \) একক ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এই উপায়ে ভেক্টরের মান এবং দিক উভয়ই নির্ণয় করা যায়, যা সমতলে ভেক্টরের নির্দিষ্ট অবস্থান নির্দেশ করতে সাহায্য করে।