সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র?

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে এর উচ্চতা (height) বের করতে হবে।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\)।

ত্রিভুজের যেকোনো একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব টানলে, এটি ত্রিভুজের উচ্চতা (h) হয় এবং ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ফলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয় যার ভূমি হবে \(\frac{a}{2}\), অতিভুজ \(a\) এবং লম্ব \(h\)।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras theorem) অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:

\(\text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2 = \text{অতিভুজ}^2\)

\(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\)

\(h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2\)

উচ্চতার জন্য সমাধান করলে পাই:

\(h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\)

\(h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}\)

\(h^2 = \frac{3a^2}{4}\)

\(h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\)

\(h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্রটি হলো: \(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)

এখানে, ভূমি \(a\) এবং উচ্চতা \(h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)।

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)।