সরলছন্দিত গতিতে সাম্যাবস্থা হলো সেই বিন্দু যেখানে
$i . x = 0, a_{x} = 0$
$i i . x = 0, F_{x} = 0$
$i i i . v_{x} = 0, E_{k} = 0$
নিচের কোনটি সঠিক?

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

i ও ii
খ

ii ও iii
গ

iii
ঘ

i ii ও iii

ব্যাখ্যাঃ

সরলছন্দিত গতিতে (Simple Harmonic Motion - SHM) সাম্যাবস্থা হলো সেই বিন্দু যেখানে বস্তুর উপর নিট বল শূন্য হয় এবং বস্তুটি তার স্থিতিশীল অবস্থায় থাকতে চায়। এই বিন্দুকে মূলবিন্দু (origin) ধরা হয় এবং এখান থেকে সরণ পরিমাপ করা হয়।

সাম্যাবস্থায় নিম্নলিখিত শর্তগুলো প্রযোজ্য হয়:

সরণ ($x$): সাম্যাবস্থায় বস্তুর সরণ শূন্য হয়। অর্থাৎ, $x = 0$। সরণ পরিমাপই করা হয় এই সাম্যাবস্থা বিন্দু থেকে।
প্রত্যয়নী বল ($F_x$): সরলছন্দিত গতির ক্ষেত্রে প্রত্যয়নী বল সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী হয়, অর্থাৎ $F_x = -kx$। যেহেতু সাম্যাবস্থায় সরণ $x = 0$, তাই প্রত্যয়নী বল $F_x = -k(0) = 0$। অর্থাৎ, বস্তুর উপর কোনো নিট বল ক্রিয়া করে না।
ত্বরণ ($a_x$): নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, $F_x = ma_x$। যেহেতু সাম্যাবস্থায় নিট বল $F_x = 0$, তাই ত্বরণও $a_x = 0$ হয়।
বেগ ($v_x$): সাম্যাবস্থায় বস্তুর বেগ সর্বোচ্চ হয়। এই অবস্থানে বস্তু তার সর্বোচ্চ গতিশক্তি নিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ, $v_x \neq 0$ এবং $v_x = v_{max}$।
গতিশক্তি ($E_k$): গতিশক্তি হলো $E_k = \frac{1}{2}mv_x^2$। যেহেতু সাম্যাবস্থায় বেগ সর্বোচ্চ, তাই গতিশক্তিও সর্বোচ্চ হয়। অর্থাৎ, $E_k \neq 0$ এবং $E_k = E_{k,max}$।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়:

$i.\ x=0,\ a_x=0$ - এটি সঠিক, কারণ সাম্যাবস্থায় সরণ এবং ত্বরণ উভয়ই শূন্য।
$ii.\ x=0,\ F_x=0$ - এটিও সঠিক, কারণ সাম্যাবস্থায় সরণ এবং নিট প্রত্যয়নী বল উভয়ই শূন্য।
$iii.\ v_x=0,\ E_k=0$ - এটি ভুল। সাম্যাবস্থায় বেগ এবং গতিশক্তি সর্বোচ্চ হয়, শূন্য নয়। এই শর্তগুলো প্রযোজ্য হয় সরলছন্দিত গতির বিস্তার অবস্থানে (extreme positions)।

সুতরাং, i এবং ii উভয় বিবৃতিই সঠিক।

Satt AI

1 month ago

সরল ছন্দিত গতি সংশ্লিষ্ট রাশি

সরল দোলন গতি সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশি

Quantities Related to Simple Harmonic Motion

পূর্বের অনুচ্ছেদে আমরা দেখেছি সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণের একটি সমাধান তথা সরল দোলন গতি সম্পন্ন

কণার গতির সমীকরণ হচ্ছে, (সমীকরণ 8.7)

$x = A \sin (ω t + ς)$

এখন আমরা এ সমীকরণের বিভিন্ন রাশির ভৌত তাৎপর্য নিয়ে আলোচনা করব।

পর্যায়কাল, T

সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার একটি পূর্ণ দোলনসম্পন্ন হতে যে সময় লাগে তাকে তার পর্যায়কাল T বলে $\frac{2 π}{ω}$ ( 87 ) সমীকরণে সময় কে পরিমাণ বৃদ্ধি করা হলে সরণ হয়।

দেখা যাচ্ছে যে, $\frac{2 π}{ω}$ সময় পর সরণের মান একই হচ্ছে অর্থাৎ $\frac{2 π}{ω}$ সময় পর পর রাশিটির পুনরাবৃত্তি ঘটছে। সুতরাং $\frac{2 π}{ω}$ হচ্ছে সরল দোলন গতির পর্যায়কাল T।

:- T = $\frac{2 π}{ω}$

পর্যায়কাল ও বল ধ্রুবকের সম্পর্ক

আমরা জানি, $ω^{2} = \frac{k}{m}$ = । সুতরাং T = $\frac{2 π}{ω}$ সমীকরণ দাঁড়ায়,

$T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

এ সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, সরল দোলন গতির পর্যায়কাল স্পন্দনশীল কণাটির ভর m এবং বল ধ্রুবক k এর সাথে সম্পর্কিত। যেহেতু কোনো কণার ভর m নির্দিষ্ট

:- $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$

অর্থাৎ সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার পর্যায়কাল বল ধ্রুবকের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক।

কম্পাঙ্ক, f

কোনো সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণা একক সময়ে যে কয়টি পূর্ণ দোলন বা কম্পন সম্পন্ন করে তাকে তার কম্পাঙ্ক f বলে।

$f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}$

কৌণিক কম্পাঙ্ক, $ω$

সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোনো কণা একক সময়ে যে কৌণিক দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে কৌণিক কম্পাঙ্ক D বলে। পর্যায়কাল এবং কম্পাঙ্ক যথাক্রমে T এবং f হলে,

$ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f = \sqrt{\frac{k}{m}}$

বিস্তার, A

(8.7) সমীকরণের ধ্রুবক A এর একটি সরল ভৌত তাৎপর্য আছে। আমরা জানি, sine অপেক্ষকের মান – 1 থেকে +1 পর্যন্ত হতে পারে। কাজেই মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থান ( x = 0 ) থেকে সরণ x এর সর্বোচ্চ মান হতে পারে । যেহেতু কোনো কণা সাম্যাবস্থান থেকে যেকোনো এক দিকে যে সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে বিস্তার এ বলে, সুতরাং A হচ্ছে সরল দোলন গতির বিস্তার।

দশা,( $ω t + ς$ )

সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোনো কণার দশা বলতে ঐ কণার যেকোনো মুহূর্তে গতির সম্যক অবস্থা বোঝায়। কোনো একটি মুহূর্তে গতির সম্যক অবস্থা বলতে ঐ বিশেষ মুহূর্তে বস্তু কণাটির সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল ইত্যাদি বোঝায়। (8.7) সমীকরণের ( $ω t + ς$ ) রাশিটি হচ্ছে গতির দশা (Phase)। ধ্রুবক ৪ হলো দশা ধ্রুবক। একই বিস্তার এবং কম্পাঙ্কের কিন্তু ভিন্ন দশার একাধিক গতি হতে পারে।

যেমন, $δ$ = 0° হলে

$x = A s i n (ω t + δ) = A s i n (ω t + 0 °)$

বা, x = A sin $ω t$

সুতরাং 1 = 0 সময়ে x = A অর্থাৎ সরণ হচ্ছে সর্বোচ্চ । এক্ষেত্রে কণাটির গতি শুরু হয় এক প্রান্ত থেকে। অন্য দশা ধ্রুবকের জন্য অন্য আদি সরণ পাওয়া যায়।

কণাটির আদি অবস্থান এবং দ্রুতি দ্বারা সরল দোলন গতির বিস্তার A এবং দশা ধ্রুবক $δ$ নির্ণীত হয়। এ দুই আদি শর্ত দ্বারা সঠিকভাবে A এবং $δ$ এর মান নির্ধারিত হয়। একবার গতি শুরু হলে অবশ্য একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের স্পন্দনশীল কণার বিস্তার ও দশা ধ্রুবক ধ্রুব থাকে, যদি না অন্যান্য বল ক্রিয়া করে।

বেগ, V

(8.7) সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার বেগ পাওয়া যায়।

আমরা জানি সময় সাপেক্ষে সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। একে সাধারণত v দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$v = \frac{d}{d t} (x) (A s i n ω t) = A ω c o s ω t s i n ω t = \frac{x}{A}, c o s ω t = \sqrt{1 - s i n^{2} ω t} v = A ω \sqrt{1 - s i n^{2} ω t} = A ω \sqrt{1 - x^{2} / A^{2}} v = ω \sqrt{A^{2} - x^{2}}$ ... …(8.9)

সমীকরণ (8.1) বেগ ও সরণের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করে।

৮.১ চিত্র অনুযায়ী N বিন্দুর গতিপথের মধ্য অবস্থানে তার বেগ সর্বাধিক এবং সরণ বৃদ্ধির সাথে সাথে বেগ কমতে থাকে এবং চরম অবস্থানে B বা D বিন্দুতে এর বেগ শূন্য হবে অর্থাৎ বিস্তারের প্রান্তে বেগ শূন্য হবে। সরল ছন্দিত গতি সম্বন্ধে কণার বেগ-সময় লেখচিত্র একটি cos সদৃশ লেখচিত্র [চিত্র ৮.১ (খ)]।

ত্বরণ (Acceleration) :

আমরা জানি সময় সাপেক্ষে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। একে a দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

ত্বরণ, $v = \frac{d}{d t} (v) = \frac{d}{d t} (A c o s ω t) = - A ω^{2} s i n ω t a = - ω^{2} x$

সমীকরণ (8.10) ত্বরণ ও সরণের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করে। ঋণ চিহ্ন বুঝায় যে, ত্বরণ ও সরণ পরস্পর বিপরীতমুখী।

৮.১ (খ) চিত্রে N বিন্দুর গতিপথের চরম অবস্থানে ত্বরণ সর্বাধিক এবং মধ্য অবস্থানে ত্বরণ শূন্য হবে। ত্বরণ-সময় লেখচিত্র একটি ঋণাত্মক sin সদৃশ লেখ। ইহা সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কণার ত্বরণের সমীকরণ নির্দেশ করে।

Notification