$y = a \sin \left(\omega t-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ সমীকরণ অনুসারে নিচের কোন লেখচিত্রটি সঠিক?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(y = a \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)\)

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে জানি, \(\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\theta)\)।

এই অভেদটি ব্যবহার করে প্রদত্ত সমীকরণটিকে পুনরায় লেখা যায়:

\(y = a \left(-\cos(\omega t)\right)\)

\(y = -a \cos(\omega t)\)

এই সমীকরণটি একটি সরল ছন্দিত গতির (Simple Harmonic Motion - SHM) সমীকরণ, যেখানে বিস্তার (amplitude) \(a\) এবং কণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency) \(\omega\)।

এই সমীকরণটির লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য বোঝার জন্য আমরা কিছু নির্দিষ্ট সময়ে \(y\) এর মান বের করি:

    
• যখন \(t = 0\), তখন \(\omega t = 0\)।
          \(y = -a \cos(0) = -a \times 1 = -a\)
          অর্থাৎ, \(t=0\) সময়ে কণাটি তার ঋণাত্মক সর্বোচ্চ অবস্থানে (\(-a\)) থাকে।     
    
• যখন \(\omega t = \frac{\pi}{2}\), তখন
          \(y = -a \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a \times 0 = 0\)
          অর্থাৎ, কণাটি সাম্যাবস্থানে (\(0\)) ফিরে আসে।     
    
• যখন \(\omega t = \pi\), তখন
          \(y = -a \cos(\pi) = -a \times (-1) = a\)
          অর্থাৎ, কণাটি তার ধনাত্মক সর্বোচ্চ অবস্থানে (\(a\)) পৌঁছায়।     

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, লেখচিত্রটি \(t=0\) সময়ে \(y = -a\) থেকে শুরু হবে, তারপর \(y=0\), তারপর \(y=a\) এর দিকে যাবে।

অপশনগুলোর মধ্যে, ৪ নম্বর লেখচিত্রটি (Option 4) এই বর্ণনাটির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। এটি \(t=0\) সময়ে \(y=-a\) থেকে শুরু হয়ে একটি দোলন সম্পন্ন করে।