স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে একক ক্ষেত্রফলের উপর প্রযুক্ত বল তিনগুণ করলে বিকৃতি কীরূপ হবে?

স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে (within the elastic limit) কোনো বস্তুর পীড়ন (stress) তার বিকৃতির (strain) সমানুপাতিক। এটি হুকের সূত্র (Hooke's Law) নামে পরিচিত।

গাণিতিকভাবে, আমরা লিখতে পারি:

পীড়ন \(\propto\) বিকৃতি

বা, পীড়ন \(=\) \(Y \times\) বিকৃতি

যেখানে \(Y\) হলো একটি ধ্রুবক, যা স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (Young's Modulus) নামে পরিচিত এবং এটি বস্তুর উপাদানের উপর নির্ভর করে। স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে \(Y\) এর মান ধ্রুবক থাকে।

প্রশ্নানুসারে, একক ক্ষেত্রফলের উপর প্রযুক্ত বল তিনগুণ করা হয়েছে। একক ক্ষেত্রফলের উপর প্রযুক্ত বলই হলো পীড়ন।
সুতরাং, পীড়ন তিনগুণ করা হয়েছে।

ধরি, প্রাথমিক পীড়ন ছিল \(\sigma_1\) এবং প্রাথমিক বিকৃতি ছিল \(\epsilon_1\)।
হুকের সূত্র অনুযায়ী, \(\sigma_1 = Y \epsilon_1\) --(i)

যদি পীড়ন তিনগুণ করা হয়, নতুন পীড়ন হবে \(\sigma_2 = 3\sigma_1\)।
ধরি, নতুন বিকৃতি হবে \(\epsilon_2\)।

হুকের সূত্র অনুযায়ী, নতুন পীড়ন ও বিকৃতির সম্পর্ক হবে:

\(\sigma_2 = Y \epsilon_2\) --(ii)

এখন (ii) নং সমীকরণে \(\sigma_2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(3\sigma_1 = Y \epsilon_2\)

এরপর (i) নং সমীকরণ থেকে \(\sigma_1 = Y \epsilon_1\) এর মান ব্যবহার করে পাই:

\(3(Y \epsilon_1) = Y \epsilon_2\)

উভয় পাশ থেকে \(Y\) বাতিল করে (কারণ \(Y\) শূন্য নয়) পাই:

\(3 \epsilon_1 = \epsilon_2\)

অর্থাৎ, নতুন বিকৃতি হবে প্রাথমিক বিকৃতির তিনগুণ। যেহেতু স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (Y) ধ্রুবক থাকে, তাই পীড়ন যে হারে পরিবর্তিত হবে, বিকৃতিও ঠিক একই হারে পরিবর্তিত হবে।