$\frac{১৩}{৭},\frac{৯}{১৩},\frac{৭২}{১০৪},\frac{৬৫}{৩৫}$ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোন ভগ্নাংশযুগল প্রকৃত ও সমতুল?

প্রকৃত ভগ্নাংশ হলো সেই ভগ্নাংশ যার লব (উপরের সংখ্যা) হর (নিচের সংখ্যা) অপেক্ষা ছোট হয়।

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো:

    
• ১ম ভগ্নাংশ: \( \frac{৬৭}{৯} \) (এখানে লব ৬৭, হর ৯। যেহেতু ৬৭ > ৯, এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ)
    
• ২য় ভগ্নাংশ: \( \frac{৯}{৬৭} \) (এখানে লব ৯, হর ৬৭। যেহেতু ৯ < ৬৭, এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ)
    
• ৩য় ভগ্নাংশ: \( \frac{৯৬}{৬৫৮} \) (এখানে লব ৯৬, হর ৬৫৮। যেহেতু ৯৬ < ৬৫৮, এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ)
    
• ৪র্থ ভগ্নাংশ: \( \frac{৯৮}{৭৯} \) (এখানে লব ৯৮, হর ৭৯। যেহেতু ৯৮ > ৭৯, এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ)

সুতরাং, প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ২য় ও ৩য় ভগ্নাংশ হলো প্রকৃত ভগ্নাংশ। এখন আমরা দেখব এই দুটি ভগ্নাংশ সমতুল কিনা।

সমতুল ভগ্নাংশ হলো সেই ভগ্নাংশগুলো যাদের মান একই, যদিও দেখতে ভিন্ন হতে পারে। দুটি ভগ্নাংশ সমতুল হয় যদি তাদের লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে তারা একে অপরের সমান হয়, অথবা তাদের লঘিষ্ঠ রূপ সমান হয়।

২য় ভগ্নাংশ: \( \frac{৯}{৬৭} \)

৩য় ভগ্নাংশ: \( \frac{৯৬}{৬৫৮} \)

আমরা ৩য় ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি:

\( \frac{৯৬}{৬৫৮} \)

লব ও হর উভয়ই জোড় সংখ্যা, তাই উভয়কে ২ দ্বারা ভাগ করা যায়:

\( \frac{৯৬ \div ২}{৬৫৮ \div ২} = \frac{৪৮}{৩২৯} \)

এখন, আমরা ২য় ভগ্নাংশ \( \frac{৯}{৬৭} \) এবং লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত ৩য় ভগ্নাংশ \( \frac{৪৮}{৩২৯} \) এর সমতা যাচাই করব। দুটি ভগ্নাংশ \( \frac{a}{b} \) এবং \( \frac{c}{d} \) সমতুল হয় যদি \( a \times d = b \times c \) হয় (বজ্রগুণ)।

এখানে,

    
• \( ৯ \times ৩২৯ = ২৯৬১ \)
    
• \( ৬৭ \times ৪৮ = ৩২১৬ \)

যেহেতু \( ২৯৬১ \neq ৩২১৬ \), তাই \( \frac{৯}{৬৭} \) এবং \( \frac{৪৮}{৩২৯} \) সমতুল নয়।

সুতরাং, ২য় ও ৩য় ভগ্নাংশ প্রকৃত হলেও তারা সমতুল নয়। প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে অন্য কোনোটিতে দুটি প্রকৃত ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত কোনো যুগল নেই। অতএব, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।