২+৪+৮+১৬+..... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি ২৫৪ হলে, n এর মান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ধারাটি হলো \(২+৪+৮+১৬+.....\)।

এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series) কারণ এর যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা একই থাকে।

    
• প্রথম পদ (a) = ২
    
• সাধারণ অনুপাত (r) = \(\frac{৪}{২} = ২\)

যেহেতু \(r > ১\), n সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্রটি হলো:

\(S_n = \frac{a(r^n - ১)}{r - ১}\)

প্রশ্নমতে, \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টি \(S_n = ২৫৪\)।

এখন, আমরা প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসাই:

\(২৫৪ = \frac{২(২^n - ১)}{২ - ১}\)

\(২৫৪ = \frac{২(২^n - ১)}{১}\)

\(২৫৪ = ২(২^n - ১)\)

উভয় পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{২৫৪}{২} = ২^n - ১\)

\(১২৭ = ২^n - ১\)

\(১২৭ + ১ = ২^n\)

\(১২৮ = ২^n\)

\(২^৭ = ২^n\)

সুতরাং, \(n = ৭\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এখানে \(n\) এর মান বের করতে হবে এবং অপশনগুলো ছোট পূর্ণসংখ্যা। তাই আমরা অপশনগুলো ব্যবহার করে দেখতে পারি কোন অপশনের জন্য সমষ্টি ২৫৪ হয়।

আমরা জানি, \(S_n = \frac{২(২^n - ১)}{২ - ১} = ২(২^n - ১)\)।

    
• অপশন ১: \(n = ৬\) হলে, \(S_৬ = ২(২^৬ - ১) = ২(৬৪ - ১) = ২ \times ৬৩ = ১২৬\) (২৫৪ নয়)
    
• অপশন ২: \(n = ৭\) হলে, \(S_৭ = ২(২^৭ - ১) = ২(১২৮ - ১) = ২ \times ১২৭ = ২৫৪\) (এটি সঠিক)

সুতরাং, \(n\) এর মান ৭।