২ + ৪ + ৮ + ১৬ + _____ ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি ২৫৪ হলে n এর মান কত?

প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression), যেখানে প্রথম পদ `(a) = 2` এবং সাধারণ অনুপাত `(r) = 4/2 = 2`।

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি `(S_n)` নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

`\[ S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)} \]`

এখানে, `S_n = 254`, `a = 2`, `r = 2`।

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

`\[ 254 = 2 \frac{(2^n - 1)}{(2 - 1)} \]`

`\[ 254 = 2 \frac{(2^n - 1)}{1} \]`

`\[ 254 = 2 (2^n - 1) \]`

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে:

`\[ \frac{254}{2} = 2^n - 1 \]`

`\[ 127 = 2^n - 1 \]`

`-1` কে বাম পাশে নিয়ে যোগ করে:

`\[ 127 + 1 = 2^n \]`

`\[ 128 = 2^n \]`

এখন, `2` এর কোন ঘাত `128` হয় তা নির্ণয় করতে হবে:

`\( 2^1 = 2 \)`

`\( 2^2 = 4 \)`

`\( 2^3 = 8 \)`

`\( 2^4 = 16 \)`

`\( 2^5 = 32 \)`

`\( 2^6 = 64 \)`

`\( 2^7 = 128 \)`

সুতরাং, `n = 7`।

অতএব, n এর মান ৭।