৪, ৯, ১৪, .... সমান্তর ধারাটির কতগুলো পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে?

Created: 2 weeks ago | Updated: 2 weeks ago

Updated: 2 weeks ago

ক

১২
খ

১৬
গ

১৪
ঘ

কোনটিই নয়

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:
দেওয়া আছে, সমান্তর ধারাটি হলো ৪, ৯, ১৪, ....
ধারাটির প্রথম পদ, $a = 4$
সাধারণ অন্তর, $d = 9 - 4 = 5$
মনে করি, ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n = 378$
সমান্তর ধারার $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র হলো:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
মান বসিয়ে পাই:
$378 = \frac{n}{2} [2(4) + (n-1)5]$
$378 \times 2 = n [8 + 5n - 5]$
$756 = n [5n + 3]$
$756 = 5n^2 + 3n$
পক্ষান্তর করে পাই:
$5n^2 + 3n - 756 = 0$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ব্যবহার করে সমাধান করি, যেখানে $a=5$, $b=3$ এবং $c=-756$।
$n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(5)(-756)}}{2(5)}$
$n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 15120}}{10}$
$n = \frac{-3 \pm \sqrt{15129}}{10}$
আমরা জানি, $\sqrt{15129} = 123$
$n = \frac{-3 \pm 123}{10}$
দুটি সম্ভাব্য মান পাই:
$n_1 = \frac{-3 + 123}{10} = \frac{120}{10} = 12$
$n_2 = \frac{-3 - 123}{10} = \frac{-126}{10}$
পদের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, $n = 12$।
অতএব, ধারাটির ১২টি পদের সমষ্টি ৩৭৮ হবে।

💡 শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে অপশন টেস্ট করেও দ্রুত সমাধান করা যায়।
যদি $n=12$ হয়, তাহলে $S_{12} = \frac{12}{2}[2(4) + (12-1)5]$
$= 6[8 + 11 \times 5]$
$= 6[8 + 55]$
$= 6[63]$
$= 378$
সুতরাং, $n=12$ সঠিক উত্তর।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 358 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$