৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ সংখ্যায় রূপান্তর করতে হলে, প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যার কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে, ৫৬০৫ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি আমাদের খুঁজে বের করতে হবে।

৫৬০৫ সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার জন্য আমরা ভাগ প্রক্রিয়ার (Long Division Method) সাহায্য নেব:

       7   4
     _______
    7 | 56 05
      | 49
      -----
    144 | 705
        | 576
        -----
        129 (ভাগশেষ)

উপরের ভাগ প্রক্রিয়া থেকে দেখা যাচ্ছে যে, ৫৬০৫ এর বর্গমূল ৭৪ এবং ভাগশেষ ১২৯।

এর অর্থ হলো, \(74^2 = 5476\)। যেহেতু ৫৬০৫ সংখ্যাটি ৭৪ এর বর্গ (৫৪৭৬) এর চেয়ে বড়, তাই ৫৬০৫ এর চেয়ে বড় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে ৭৪ এর পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ ৭৫ এর বর্গ।

পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো \(75^2\)।

\(75^2 = 75 \times 75 = 5625\)

এখন, ৫৬০৫ এর সাথে যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে, তা হলো:

\(5625 - 5605 = 20\)

সুতরাং, ৫৬০৫ এর সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল (৫৬২৫) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

আমরা জানি যে, \(70^2 = 4900\) এবং \(80^2 = 6400\)।

যেহেতু ৫৬০৫ সংখ্যাটি ৪৯০০ এবং ৬৪০০ এর মাঝে অবস্থিত, তাই এর বর্গমূল ৭০ থেকে ৮০ এর মধ্যে হবে।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা পেতে হলে, যে সংখ্যাটি যোগ করার পর তা পূর্ণবর্গ হবে, তার শেষ অঙ্কটি দেখে অনুমান করা যেতে পারে। ৫৬০৫ এর শেষ অঙ্ক ৫। একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা যদি ৫ দিয়ে শেষ হয়, তাহলে তার বর্গমূলও ৫ দিয়ে শেষ হবে।

৭০ থেকে ৮০ এর মধ্যে ৫ দিয়ে শেষ হওয়া একমাত্র সংখ্যাটি হলো ৭৫।

তাহলে, আমরা সরাসরি \(75^2\) নির্ণয় করতে পারি:

\(75^2 = 5625\)

এখন, প্রয়োজনীয় সংখ্যাটি হবে: \(5625 - 5605 = 20\)