৯ জন ব্যাক্তির একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমন করবে, এ যানবাহনের একটিতে ৭ জনের বেশি অপরটিতে ৪ জনের বেশি ধরে না। দলটি কত রকম ভ্রমন করতে পারবে?

এই সমস্যাটি বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutation and Combination) সম্পর্কিত। এখানে আমাদের মোট ৯ জন ব্যক্তিকে দুইটি যানবাহনে ভাগ করে দিতে হবে, যেখানে যানবাহনের ধারণক্ষমতার সীমাবদ্ধতা রয়েছে।

ধরা যাক, প্রথম যানবাহনে \(x\) জন এবং দ্বিতীয় যানবাহনে \(y\) জন ব্যক্তি ভ্রমণ করবে।

শর্তাবলী:

    
• মোট ব্যক্তি ৯ জন, সুতরাং \(x + y = 9\)।
    
• প্রথম যানবাহনে সর্বোচ্চ ৭ জন বসতে পারবে, অর্থাৎ \(x \le 7\)।
    
• দ্বিতীয় যানবাহনে সর্বোচ্চ ৪ জন বসতে পারবে, অর্থাৎ \(y \le 4\)।

\(x + y = 9\) থেকে আমরা লিখতে পারি \(y = 9 - x\)। এই মানটি দ্বিতীয় যানবাহনের ধারণক্ষমতার শর্তে বসিয়ে পাই:

\(9 - x \le 4\)

\(9 - 4 \le x\)

\(5 \le x\)

সুতরাং, \(x\) এর জন্য আমরা দুইটি শর্ত পাই: \(x \le 7\) এবং \(x \ge 5\)।

অর্থাৎ, \(x\) এর সম্ভাব্য মানগুলি হলো ৫, ৬ এবং ৭।

আমরা প্রতিটি ক্ষেত্রে কতভাবে দলটি ভ্রমণ করতে পারবে তা হিসাব করব:

১. যখন প্রথম যানবাহনে ৫ জন এবং দ্বিতীয় যানবাহনে ৪ জন থাকে (\(x=5, y=4\)):

৯ জন থেকে ৫ জনকে প্রথম যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(9, 5)\)।

বাকি \(9-5=4\) জন থেকে ৪ জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(4, 4)\)।

মোট উপায় = \(C(9, 5) \times C(4, 4)\)

\(C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126\)

\(C(4, 4) = 1\)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে ভ্রমণের উপায় = \(126 \times 1 = 126\) টি।

২. যখন প্রথম যানবাহনে ৬ জন এবং দ্বিতীয় যানবাহনে ৩ জন থাকে (\(x=6, y=3\)):

৯ জন থেকে ৬ জনকে প্রথম যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(9, 6)\)।

বাকি \(9-6=3\) জন থেকে ৩ জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(3, 3)\)।

মোট উপায় = \(C(9, 6) \times C(3, 3)\)

\(C(9, 6) = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84\)

\(C(3, 3) = 1\)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে ভ্রমণের উপায় = \(84 \times 1 = 84\) টি।

৩. যখন প্রথম যানবাহনে ৭ জন এবং দ্বিতীয় যানবাহনে ২ জন থাকে (\(x=7, y=2\)):

৯ জন থেকে ৭ জনকে প্রথম যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(9, 7)\)।

বাকি \(9-7=2\) জন থেকে ২ জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো \(C(2, 2)\)।

মোট উপায় = \(C(9, 7) \times C(2, 2)\)

\(C(9, 7) = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36\)

\(C(2, 2) = 1\)

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে ভ্রমণের উপায় = \(36 \times 1 = 36\) টি।

মোট ভ্রমণের উপায় = (প্রথম ক্ষেত্রে উপায়) + (দ্বিতীয় ক্ষেত্রে উপায়) + (তৃতীয় ক্ষেত্রে উপায়)

মোট ভ্রমণের উপায় = \(126 + 84 + 36 = 246\) টি।