${\int }_0^1{x}^4(1-x{)}^{5}dx$=কত?

এই নির্দিষ্ট সমাকলনটি (definite integral) বিটা ফাংশনের (Beta function) সংজ্ঞা ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

বিটা ফাংশনের সংজ্ঞা হলো:

\[ B(m, n) = \int_{0}^{1} x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx \] যেখানে \( m > 0 \) এবং \( n > 0 \)।

প্রদত্ত সমাকলনটি হলো: \[ \int_{0}^{1} x^4 (1-x)^5 dx \]

এই সমাকলনটিকে বিটা ফাংশনের ফর্মের সাথে তুলনা করে পাই:

    
• \( m-1 = 4 \Rightarrow m = 5 \)
    
• \( n-1 = 5 \Rightarrow n = 6 \)

বিটা ফাংশনকে গামা ফাংশনের (Gamma function) মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় এভাবে:

\[ B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \]

যেহেতু \( m \) এবং \( n \) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই \(\Gamma(m) = (m-1)!\) এবং \(\Gamma(n) = (n-1)!\) লেখা যায়।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[ B(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} \]

এখানে \( m=5 \) এবং \( n=6 \) বসিয়ে পাই:

\[ \int_{0}^{1} x^4 (1-x)^5 dx = B(5, 6) = \frac{(5-1)!(6-1)!}{(5+6-1)!} \]

\[ = \frac{4!5!}{10!} \]

এখন ফ্যাক্টোরিয়াল (factorial) গুলোর মান নির্ণয় করি:

    
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
    
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
    
• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)

\( 10! = 3,628,800 \)

মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{24 \times 120}{3,628,800} \]

\[ = \frac{2880}{3,628,800} \]

ভগ্নাংশটিকে সরল করে পাই:

\[ = \frac{2880 \div 2880}{3,628,800 \div 2880} \]

\[ = \frac{1}{1260} \]

অতএব, নির্ণেয় মান হলো \( \frac{1}{1260} \)।