${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx =?$

ধারণাগত বিশ্লেষণ:

প্রদত্ত যোগজটি হলো: \(\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\)

এই আকারের যোগজ (\(\int \sqrt{r^2-x^2}dx\)) প্রায়শই জ্যামিতিকভাবে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

আমরা জানি, একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 = r^2\), যেখানে \(r\) হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দুতে। এখান থেকে \(y\) এর ধনাত্মক মান নিলে আমরা পাই \(y = \sqrt{r^2-x^2}\), যা একটি অর্ধবৃত্তের উপরের অংশকে নির্দেশ করে।

প্রদত্ত যোগজে \(\sqrt{4-x^2}\) রয়েছে। এখানে \(r^2=4\), সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=2\)।

যোগজের সীমা \(x=0\) থেকে \(x=2\) পর্যন্ত। এর অর্থ হলো, আমরা \(y = \sqrt{4-x^2}\) বক্ররেখা, x-অক্ষ এবং \(x=0\) ও \(x=2\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করছি। \(x=0\) থেকে \(x=2\) পর্যন্ত এবং \(y\) এর ধনাত্মক মান (\(\sqrt{4-x^2}\)) নেওয়ায়, এটি \(2\) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

একটি পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো \(\pi r^2\)।

সুতরাং, একটি চতুর্থাংশ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো \(\frac{1}{4}\pi r^2\)।

এখানে \(r=2\) বসিয়ে পাই:

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{4}\pi (2)^2 = \frac{1}{4}\pi (4) = \pi\)।

বিশদ গাণিতিক সমাধান (ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন পদ্ধতি):

প্রদত্ত যোগজটি হলো: \(\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\)

আমরা ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন করি: ধরি, \(x = 2\sin\theta\)।

তাহলে, \(dx\) এর মান হবে: \(dx = \frac{d}{d\theta}(2\sin\theta)d\theta = 2\cos\theta d\theta\)।

এখন যোগজের সীমা পরিবর্তন করি:

    
• যখন \(x=0\), তখন \(2\sin\theta = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0\)।
    
• যখন \(x=2\), তখন \(2\sin\theta = 2 \Rightarrow \sin\theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}\)।

নতুন সীমা এবং প্রতিস্থাপিত মান যোগজে বসিয়ে পাই:

\[ \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4-(2\sin\theta)^2}(2\cos\theta)d\theta \]

\[ = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4-4\sin^2\theta}(2\cos\theta)d\theta \]

\[ = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}(2\cos\theta)d\theta \]

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক অভেদ অনুযায়ী \(1-\sin^2\theta = \cos^2\theta\)।

\[ = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4\cos^2\theta}(2\cos\theta)d\theta \]

\[ = \int_{0}^{\pi/2}(2\cos\theta)(2\cos\theta)d\theta \]

\[ = \int_{0}^{\pi/2}4\cos^2\theta d\theta \]

এখন আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ \(\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\) ব্যবহার করি:

\[ = \int_{0}^{\pi/2}4\left(\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\right)d\theta \]

\[ = \int_{0}^{\pi/2}2(1+\cos(2\theta))d\theta \]

এখন যোগজটি সমাধান করি:

\[ = 2\left[\int 1 d\theta + \int \cos(2\theta) d\theta\right]_{0}^{\pi/2} \]

\[ = 2\left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/2} \]

এখন ঊর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমা বসিয়ে পাই:

\[ = 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2 \times \frac{\pi}{2})}{2}\right) - \left(0 + \frac{\sin(2 \times 0)}{2}\right)\right] \]

\[ = 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2}\right) - \left(0 + \frac{\sin(0)}{2}\right)\right] \]

আমরা জানি, \(\sin(\pi) = 0\) এবং \(\sin(0) = 0\)।

\[ = 2\left[\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 0)\right] \]

\[ = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \]

\[ = \pi \]