${\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.}\sin 3x \cos 3x dx =$ কত?

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 3x \cos 3x \, dx \]

এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution method) ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, \( u = \sin 3x \)

এখন, \( u \) কে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করি:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = \cos 3x \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3 \cos 3x \]

সুতরাং, \( du = 3 \cos 3x \, dx \)

বা, \( \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} du \)

ইন্টিগ্রেশনের সীমা পরিবর্তন করি:

    
• যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin(3 \cdot 0) = \sin 0 = 0 \)
    
• যখন \( x = \frac{\pi}{6} \), তখন \( u = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)

এখন, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে নতুন সীমায় লেখা যায়:

\[ \int_{0}^{1} u \cdot \frac{1}{3} du \] \[ = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u \, du \]

এখন, \( u \) এর ইন্টিগ্রেশন করি:

\[ = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} \]

উপরের সীমা এবং নিচের সীমা বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{1}{6} \]

💡 শর্টকাট টেকনিক (ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে):

আমরা জানি, \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \)।

সুতরাং, \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \)।

এখানে \( \theta = 3x \)। তাহলে, \( \sin 3x \cos 3x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2} \sin 6x \)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} \sin 6x \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 6x \, dx \]

এখন, \( \sin ax \) এর ইন্টিগ্রেশন \( -\frac{\cos ax}{a} \) সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 6x}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \] \[ = -\frac{1}{12} \left[ \cos 6x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \]

উপরের সীমা এবং নিচের সীমা বসিয়ে পাই:

\[ = -\frac{1}{12} \left( \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \cos(6 \cdot 0) \right) \] \[ = -\frac{1}{12} \left( \cos \pi - \cos 0 \right) \]

আমরা জানি, \( \cos \pi = -1 \) এবং \( \cos 0 = 1 \):

\[ = -\frac{1}{12} \left( -1 - 1 \right) \] \[ = -\frac{1}{12} \left( -2 \right) \] \[ = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]