(1,0) বিন্দুগামী এবং x + y = 0 সাথে 45° কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

x - 1 = 0
খ

y = x
গ

y - 1 = 0
ঘ

x = 0

202

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো \(x + y = 0\)।

এই সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে হয় \(y = -x\)।

সুতরাং, প্রদত্ত সরলরেখার ঢাল \(m_1 = -1\)।

x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এই রেখাটি যে কোণ (\(\alpha_1\)) উৎপন্ন করে, তা হলো:

\(\tan \alpha_1 = m_1 = -1\)

যেহেতু \(\tan 135^\circ = -1\), সুতরাং \(\alpha_1 = 135^\circ\)।

ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2\) এবং এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\alpha_2\) কোণ উৎপন্ন করে।

প্রশ্নানুযায়ী, প্রদত্ত সরলরেখা (\(x+y=0\)) এবং নির্ণেয় সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 45^\circ\)।

দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \(\alpha_1\) ও \(\alpha_2\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো \(\alpha_2 = \alpha_1 \pm \theta\)।

প্রথম ক্ষেত্র: যখন \(\alpha_2 = \alpha_1 + \theta\)

\(\alpha_2 = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\)

এই ক্ষেত্রে নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2 = \tan 180^\circ = 0\)।

এখন, \((1,0)\) বিন্দুগামী এবং \(0\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\(y - y_1 = m_2(x - x_1)\)

\(y - 0 = 0(x - 1)\)

\(y = 0\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্র: যখন \(\alpha_2 = \alpha_1 - \theta\)

\(\alpha_2 = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ\)

এই ক্ষেত্রে নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2 = \tan 90^\circ\), যা অসংজ্ঞায়িত (Undefined)।

যখন একটি সরলরেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত হয়, তখন রেখাটি \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল হয় এবং এর সমীকরণ \(x = \text{ধ্রুবক}\) আকারের হয়।

যেহেতু রেখাটি \((1,0)\) বিন্দুগামী, তাই এর সমীকরণ হবে \(x = 1\), যা \(x - 1 = 0\) হিসেবেও লেখা যায়।

আমরা দুটি সম্ভাব্য সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি: \(y = 0\) এবং \(x - 1 = 0\)।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, শুধুমাত্র অপশন ১ এ \(x - 1 = 0\) বিদ্যমান।

Satt AI

2 months ago

MCQ: 72

Practice

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়ের জন্য তাদের ঢাল ব্যবহার করা হয়। যদি দুটি সরলরেখার ঢাল \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তবে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta \) নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

\[
\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|
\]

এখানে:

\( m_1 \) এবং \( m_2 \) যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় সরলরেখার ঢাল।
\( \theta \) হল রেখাদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ।

বিশেষ ক্ষেত্রে

যদি \( m_1 = m_2 \) হয়:
তখন রেখাদুটি সমান্তরাল এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta = 0^\circ \)।
যদি \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) হয়:
তখন রেখাদুটি পরস্পর লম্ব এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \( \theta = 90^\circ \) বা \( \frac{\pi}{2} \) রেডিয়ান হবে।

উদাহরণ

ধরুন, দুটি সরলরেখার ঢাল \( m_1 = 2 \) এবং \( m_2 = -\frac{1}{3} \)।

ধাপ ১: সূত্রে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) এর মান বসানো

\[
\tan \theta = \left| \frac{2 - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \right|
\]

ধাপ ২: সরলীকরণ

\[
= \left| \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \right|
\]
\[
= \left| \frac{\frac{6 + 1}{3}}{\frac{3 - 2}{3}} \right|
\]
\[
= \left| \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right|
\]
\[
= |7| = 7
\]

ধাপ ৩: \( \theta \) নির্ণয়

এখন, \( \tan \theta = 7 \) হলে, \( \theta = \tan^{-1}(7) \), যা প্রায় \( 81.87^\circ \)।

সংক্ষেপে

সমান্তরাল রেখা: \( m_1 = m_2 \) হলে, রেখাদুটি সমান্তরাল এবং কোণ \( 0^\circ \)।
লম্ব রেখা: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) হলে, রেখাদুটি লম্ব এবং কোণ \( 90^\circ \)।

এইভাবে, দুইটি সরলরেখার ঢালের সাহায্যে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করা যায়।

Notification