(1,0) বিন্দুগামী এবং x + y = 0 সাথে 45° কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো \(x + y = 0\)।

এই সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে হয় \(y = -x\)।

সুতরাং, প্রদত্ত সরলরেখার ঢাল \(m_1 = -1\)।

x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এই রেখাটি যে কোণ (\(\alpha_1\)) উৎপন্ন করে, তা হলো:

\(\tan \alpha_1 = m_1 = -1\)

যেহেতু \(\tan 135^\circ = -1\), সুতরাং \(\alpha_1 = 135^\circ\)।

ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2\) এবং এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\alpha_2\) কোণ উৎপন্ন করে।

প্রশ্নানুযায়ী, প্রদত্ত সরলরেখা (\(x+y=0\)) এবং নির্ণেয় সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 45^\circ\)।

দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \(\alpha_1\) ও \(\alpha_2\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো \(\alpha_2 = \alpha_1 \pm \theta\)।

প্রথম ক্ষেত্র: যখন \(\alpha_2 = \alpha_1 + \theta\)

\(\alpha_2 = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\)

এই ক্ষেত্রে নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2 = \tan 180^\circ = 0\)।

এখন, \((1,0)\) বিন্দুগামী এবং \(0\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\(y - y_1 = m_2(x - x_1)\)

\(y - 0 = 0(x - 1)\)

\(y = 0\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্র: যখন \(\alpha_2 = \alpha_1 - \theta\)

\(\alpha_2 = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ\)

এই ক্ষেত্রে নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_2 = \tan 90^\circ\), যা অসংজ্ঞায়িত (Undefined)।

যখন একটি সরলরেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত হয়, তখন রেখাটি \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল হয় এবং এর সমীকরণ \(x = \text{ধ্রুবক}\) আকারের হয়।

যেহেতু রেখাটি \((1,0)\) বিন্দুগামী, তাই এর সমীকরণ হবে \(x = 1\), যা \(x - 1 = 0\) হিসেবেও লেখা যায়।

আমরা দুটি সম্ভাব্য সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি: \(y = 0\) এবং \(x - 1 = 0\)।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, শুধুমাত্র অপশন ১ এ \(x - 1 = 0\) বিদ্যমান।