(1,2) ও (6.7) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাকে (3,4) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তবির্ভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সংযোগ রেখাকে তৃতীয় একটি বিন্দু যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত (internally divides) করে, তা নির্ণয়ের জন্য আমরা সেকশন ফর্মুলা (Section Formula) ব্যবহার করি। যদি \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাকে \( (x, y) \) বিন্দুটি \( m_1 : m_2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, তাহলে সেকশন ফর্মুলা অনুযায়ী, অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে:

\[ x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \]

এবং

\[ y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} \]

প্রদত্ত সমস্যায়,

    
• প্রথম বিন্দু \( (x_1, y_1) = (1, 2) \)
    
• দ্বিতীয় বিন্দু \( (x_2, y_2) = (6, 7) \)
    
• অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দু \( (x, y) = (3, 4) \)

ধরি, \( (3,4) \) বিন্দুটি \( (1,2) \) এবং \( (6,7) \) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাকে \( m_1 : m_2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। আমরা x-স্থানাঙ্ক অথবা y-স্থানাঙ্ক যেকোনো একটি ব্যবহার করে অনুপাতটি নির্ণয় করতে পারি। x-স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে পাই:

\[ 3 = \frac{m_1 (6) + m_2 (1)}{m_1 + m_2} \]

উভয় পক্ষকে \( (m_1 + m_2) \) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ 3(m_1 + m_2) = 6m_1 + m_2 \]

\[ 3m_1 + 3m_2 = 6m_1 + m_2 \]

\(m_1\) এবং \(m_2\) পদগুলোকে আলাদা করে সাজিয়ে পাই:

\[ 3m_2 - m_2 = 6m_1 - 3m_1 \]

\[ 2m_2 = 3m_1 \]

এখন, \( \frac{m_1}{m_2} \) অনুপাতটি নির্ণয় করি:

\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3} \]

অতএব, বিন্দুটি সংযোগ রেখাকে \( 2:3 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

যাচাই করার জন্য আমরা y-স্থানাঙ্ক ব্যবহার করেও একই ফলাফল পাই:

\[ 4 = \frac{m_1 (7) + m_2 (2)}{m_1 + m_2} \]

\[ 4(m_1 + m_2) = 7m_1 + 2m_2 \]

\[ 4m_1 + 4m_2 = 7m_1 + 2m_2 \]

\[ 4m_2 - 2m_2 = 7m_1 - 4m_1 \]

\[ 2m_2 = 3m_1 \]

\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3} \]

উভয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করেই একই অনুপাত \( 2:3 \) পাওয়া গেছে।

সুতরাং, \( (3,4) \) বিন্দুটি \( (1,2) \) ও \( (6,7) \) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাকে \( 2:3 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।