12 মিটার দৈর্ঘ্যের সুষম একটি বীম AB এর ওজন 50 কেজি, যার A ও B প্রান্তে যথাক্রমে 15 কেজি ও 35 কেজি ওজন ঝুলানো। A প্রান্ত হতে কত দুরত্বে শুধু একটিমাত্র অবলম্বন স্থাপন করলে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকবে?

একটি সুষম বীম AB এর মোট দৈর্ঘ্য ১২ মিটার।

বীমের ওজন ৫০ কেজি। যেহেতু বীমটি সুষম, এর ওজন ঠিক এর মধ্যবিন্দুতে (কেন্দ্রস্থলে) ক্রিয়া করবে। A প্রান্ত থেকে এর মধ্যবিন্দুর দূরত্ব হবে \(\frac{12}{2} = 6\) মিটার।

A প্রান্তে ঝুলানো ওজন = ১৫ কেজি।

B প্রান্তে ঝুলানো ওজন = ৩৫ কেজি। B প্রান্ত A থেকে ১২ মিটার দূরে অবস্থিত।

ধরা যাক, A প্রান্ত থেকে 'x' দূরত্বে অবলম্বনটি স্থাপন করা হয়েছে।

ব্যবস্থাটি সুস্থিত (ঘূর্ণন সাম্যাবস্থায়) থাকার জন্য, অবলম্বন বিন্দুতে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন বল (moment) এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন বল পরস্পর সমান হতে হবে। অথবা, অন্য যেকোনো বিন্দু যেমন A প্রান্তের সাপেক্ষে মোট ঘূর্ণন বল শূন্য হতে হবে।

আমরা A প্রান্তের সাপেক্ষে ঘূর্ণন বল হিসেব করব।

ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন বলসমূহ (A এর সাপেক্ষে):

    
• বীমের ওজনের জন্য: \(50 \text{ kg} \times 6 \text{ m} = 300 \text{ kg-m}\)
    
• B প্রান্তে ঝুলানো ওজনের জন্য: \(35 \text{ kg} \times 12 \text{ m} = 420 \text{ kg-m}\)

মোট ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন বল = \(300 + 420 = 720 \text{ kg-m}\)

ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন বলসমূহ (A এর সাপেক্ষে):

    
• A প্রান্তে ঝুলানো ওজনের জন্য: \(15 \text{ kg} \times 0 \text{ m} = 0 \text{ kg-m}\) (কারণ এটি A বিন্দুতেই আছে)
    
• অবলম্বনের ঊর্ধমুখী বলের জন্য: অবলম্বনটি A থেকে x দূরত্বে থাকায়, এর কারণে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটি ঘূর্ণন বল সৃষ্টি হবে।

সাম্যাবস্থার জন্য, মোট ঊর্ধমুখী বল = মোট নিম্নমুখী বল।

মোট নিম্নমুখী বল = \(15 \text{ kg} + 50 \text{ kg} + 35 \text{ kg} = 100 \text{ kg}\)

সুতরাং, অবলম্বনের ঊর্ধমুখী বল \(R = 100 \text{ kg}\)

অবলম্বনের কারণে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন বল = \(R \times x = 100 \times x \text{ kg-m}\)

ঘূর্ণন সাম্যাবস্থার শর্তানুযায়ী:

মোট ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন বল = মোট ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন বল

\[720 = 100x\]

\[x = \frac{720}{100}\]

\[x = 7.2 \text{ মিটার}\]

ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে:

\[x = \frac{72}{10} = \frac{36}{5} \text{ মিটার}\]

সুতরাং, A প্রান্ত থেকে 36/5 মিটার দূরত্বে অবলম্বন স্থাপন করলে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকবে।