$\frac{1}{\sqrt{5}}$ এর মান কত?

প্রদত্ত:

\[p = 3 + 2\sqrt{2}\]

যদিও প্রশ্নটিতে \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে, কিন্তু প্রদত্ত বিকল্প এবং সঠিক উত্তর অনুযায়ী আমরা \(\frac{1}{\sqrt{p}}\) এর মান নির্ণয় করব।

প্রথমে, আমরা \(p\) এর বর্গমূল নির্ণয় করব। \(p\) কে \((a+b)^2\) আকারে প্রকাশ করা যায়:

\[p = 3 + 2\sqrt{2}\]

আমরা জানি, \(3\) কে \(2+1\) এবং \(2\sqrt{2}\) কে \(2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1\) হিসাবে লেখা যায়।

সুতরাং, \(p\) কে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়:

\[p = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + (1)^2\]

এটি \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) সূত্রের অনুরূপ। এখানে \(a=\sqrt{2}\) এবং \(b=1\)।

অতএব,

\[p = (\sqrt{2} + 1)^2\]

এখন, \(\sqrt{p}\) এর মান হবে:

\[\sqrt{p} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}\]

\[\sqrt{p} = \sqrt{2} + 1\]

এখন, আমরা \(\frac{1}{\sqrt{p}}\) এর মান নির্ণয় করব:

\[\frac{1}{\sqrt{p}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}\]

হরকে মূলদ (rationalize) করার জন্য, আমরা হর ও লবকে হরের অনুবন্ধী রাশি (conjugate) \(\sqrt{2} - 1\) দ্বারা গুণ করব:

\[\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\]

আমরা জানি, \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)। এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\[\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2}\]

\[= \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}\]

\[= \frac{\sqrt{2} - 1}{1}\]

\[= \sqrt{2} - 1\]

সুতরাং, \(\frac{1}{\sqrt{p}}\) এর মান হলো \(\sqrt{2} - 1\)।

এটি প্রদত্ত অপশন ৩ এর সাথে মিলে যায়।