${\int }_1^e\ln \left(x\right) dx=?$

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো: \( \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \)

এই নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি সমাধানের জন্য আমরা আংশিক সমাকলন (integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করব। আংশিক সমাকলনের সূত্রটি হলো: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

এখানে, আমরা ধরি:

    
• \( u = \ln(x) \)
    
• \( dv = dx \)

এখন \( u \) কে অন্তরীকরণ (differentiate) করে \( du \) এবং \( dv \) কে সমাকলন (integrate) করে \( v \) নির্ণয় করি:

    
• \( du = \frac{1}{x} \, dx \)
    
• \( v = \int dx = x \)

এবার আংশিক সমাকলনের সূত্রে মানগুলো বসাই:

\( \int \ln(x) \, dx = (\ln(x) \cdot x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \)

\( = x \ln(x) - \int 1 \, dx \)

\( = x \ln(x) - x \)

এখন আমরা নির্দিষ্ট সীমা (limits) ব্যবহার করে ইন্টিগ্রালের মান নির্ণয় করব, যা 1 থেকে \( e \) পর্যন্ত:

\( \left[ x \ln(x) - x \right]_{1}^{e} \)

প্রথমে উপরের সীমা (\( e \)) বসাই, তারপর নিচের সীমা (1) বসিয়ে বিয়োগ করি:

\( = (e \ln(e) - e) - (1 \ln(1) - 1) \)

আমরা জানি যে, \( \ln(e) = 1 \) এবং \( \ln(1) = 0 \)। এই মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) \)

\( = (e - e) - (0 - 1) \)

\( = 0 - (-1) \)

\( = 1 \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালের মান হলো 1।