$2.0\times {10}^{-4}m$ ব্যাসার্ধের একটি লোহার বল তার্পিন তেলের তেতর দিয়ে $4\times {10}^{-2} m{s}^{-1}$ প্রান্ত বেগ নিয়ে পড়েছে। যদি লোহা ও তার্পিন তেলের ঘনত্ব $7.8\times {10}^{3}kg{m}^{-3}$ এবং $0.87\times {10}^{3}kg{m}^{-3}$ হয়, তৰে তার্পিন তেলের সান্দ্রতা গুণাঙ্ক কোনটি?

একটি গোলক কোনো সান্দ্র তরলের মধ্য দিয়ে পড়ার সময় তার উপর তিনটি বল ক্রিয়া করে: গোলকের ওজন (নিম্নমুখী), প্লবতা (ঊর্ধ্বমুখী), এবং সান্দ্র জনিত বল (ঊর্ধ্বমুখী)। যখন এই তিনটি বলের লব্ধি শূন্য হয়, তখন গোলকটি একটি ধ্রুবক বেগ নিয়ে চলতে থাকে, যাকে প্রান্ত বেগ (Terminal Velocity) বলা হয়। স্টোকসের সূত্রানুসারে, একটি গোলকের প্রান্ত বেগ নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা নির্ণয় করা যায়:

\[v_t = \frac{2r^2(\rho_s - \rho_l)g}{9\eta}\]

যেখানে,

    
• \(v_t\) = প্রান্ত বেগ
    
• \(r\) = গোলকের ব্যাসার্ধ
    
• \(\rho_s\) = গোলকের ঘনত্ব
    
• \(\rho_l\) = তরলের ঘনত্ব
    
• \(g\) = অভিকর্ষজ ত্বরণ
    
• \(\eta\) = তরলের সান্দ্রতা গুণাঙ্ক

আমাদেরকে সান্দ্রতা গুণাঙ্ক (\(\eta\)) নির্ণয় করতে হবে। সূত্রটি \(\eta\)-এর জন্য পুনর্বিন্যাস করে পাই:

\[\eta = \frac{2r^2(\rho_s - \rho_l)g}{9v_t}\]

প্রদত্ত মানগুলো হলো:

    
• গোলকের ব্যাসার্ধ, \(r = 2.0 \times 10^{-4}\) m
    
• প্রান্ত বেগ, \(v_t = 4 \times 10^{-2}\) m/s
    
• লোহার ঘনত্ব, \(\rho_s = 7.8 \times 10^3\) kg/m\(^{-3}\)
    
• তার্পিন তেলের ঘনত্ব, \(\rho_l = 0.87 \times 10^3\) kg/m\(^{-3}\)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) (একটি আদর্শ মান)

এখন, মানগুলো সূত্রে বসিয়ে গণনা করি:

প্রথমে, ঘনত্বের পার্থক্য নির্ণয় করি:

\(\rho_s - \rho_l = (7.8 \times 10^3 - 0.87 \times 10^3)\) kg/m\(^{-3}\)

\(\rho_s - \rho_l = (7.8 - 0.87) \times 10^3\) kg/m\(^{-3}\)

\(\rho_s - \rho_l = 6.93 \times 10^3\) kg/m\(^{-3}\)

এখন \(\eta\) এর সূত্রে মানগুলো বসাই:

\[\eta = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-4})^2 \times (6.93 \times 10^3) \times 9.8}{9 \times (4 \times 10^{-2})}\]

\[\eta = \frac{2 \times (4.0 \times 10^{-8}) \times (6.93 \times 10^3) \times 9.8}{36 \times 10^{-2}}\]

\[\eta = \frac{8.0 \times 10^{-8} \times 6.93 \times 10^3 \times 9.8}{36 \times 10^{-2}}\]

\[\eta = \frac{(8.0 \times 6.93 \times 9.8) \times 10^{-8+3}}{36 \times 10^{-2}}\]

\[\eta = \frac{543.312 \times 10^{-5}}{36 \times 10^{-2}}\]

\[\eta = \frac{543.312}{36} \times 10^{-5 - (-2)}\]

\[\eta = 15.092 \times 10^{-3}\]

\[\eta = 1.5092 \times 10^{-2}\] Nsm\(^{-2}\)

প্রায় \(1.5 \times 10^{-2}\) Nsm\(^{-2}\)

অতএব, তার্পিন তেলের সান্দ্রতা গুণাঙ্ক হলো প্রায় \(1.5 \times 10^{-2}\) Nsm\(^{-2}\)।