(2,1) বিন্দুতে ${\mathrm{x}}^3-3\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^3=3$ এর ঢাল কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(x^3 - 3xy + y^3 = 3\)

এই সমীকরণের ঢাল (\(\frac{dy}{dx}\)) নির্ণয় করার জন্য আমাদের এটিকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (implicit differentiation) করতে হবে।

উভয় পক্ষকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:

\(\frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3)\)

প্রতিটি পদকে অন্তরীকরণ করি:

১. \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)

২. \(\frac{d}{dx}(3xy)\) এর জন্য গুণফলের সূত্র (product rule) ব্যবহার করতে হবে, যেখানে \(u=3x\) এবং \(v=y\)।

\(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)

\(\frac{d}{dx}(3xy) = 3x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 3\)

\(= 3x\frac{dy}{dx} + 3y\)

৩. \(\frac{d}{dx}(y^3)\) এর জন্য চেইন রুল (chain rule) ব্যবহার করতে হবে:

\(\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}\)

৪. \(\frac{d}{dx}(3) = 0\) (যেহেতু 3 একটি ধ্রুবক)

এখন, এই অন্তরীকৃত পদগুলো মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\(3x^2 - (3x\frac{dy}{dx} + 3y) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0\)

\(3x^2 - 3x\frac{dy}{dx} - 3y + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0\)

\(\frac{dy}{dx}\) পদগুলোকে একপাশে নিয়ে আসি এবং বাকি পদগুলো অন্যপাশে:

\(3y^2\frac{dy}{dx} - 3x\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2\)

\(\frac{dy}{dx}(3y^2 - 3x) = 3y - 3x^2\)

এখন, \(\frac{dy}{dx}\) এর জন্য সমাধান করি:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 3x^2}{3y^2 - 3x}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3(y - x^2)}{3(y^2 - x)}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}\)

এখন, প্রদত্ত বিন্দু (2,1) এ ঢাল নির্ণয় করার জন্য \(x=2\) এবং \(y=1\) মানগুলো প্রতিস্থাপন করি:

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = \frac{1 - (2)^2}{(1)^2 - 2}\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = \frac{1 - 4}{1 - 2}\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = \frac{-3}{-1}\)

\(\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,1)} = 3\)

সুতরাং, (2,1) বিন্দুতে প্রদত্ত সমীকরণের ঢাল হলো 3।