${\left(2x^3-\frac{1}{4x^5}\right)}^8$ এর বিস্তৃতিতে x মুক্ত সংখ্যা কোনটি?

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ হলো \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)।

প্রদত্ত রাশিটি হলো \(\left(2x^3 - \frac{1}{4x^5}\right)^8\)।

এখানে,

    
• \(a = 2x^3\)
    
• \(b = -\frac{1}{4x^5} = -\frac{1}{4}x^{-5}\)
    
• \(n = 8\)

এখন, সাধারণ পদের সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} (2x^3)^{8-r} \left(-\frac{1}{4}x^{-5}\right)^r\)

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} (x^3)^{8-r} \left(-\frac{1}{4}\right)^r (x^{-5})^r\)

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} x^{3(8-r)} \left(-\frac{1}{4}\right)^r x^{-5r}\)

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} \left(-\frac{1}{4}\right)^r x^{24-3r-5r}\)

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} \left(-\frac{1}{4}\right)^r x^{24-8r}\)

বিস্তৃতিতে x মুক্ত পদ (বা ধ্রুবক পদ) পাওয়ার জন্য x এর ঘাত 0 হতে হবে।

সুতরাং,

\(24 - 8r = 0\)

\(8r = 24\)

\(r = 3\)

এখন, \(r=3\) এই মানটি সাধারণ পদের রাশিতে বসিয়ে x মুক্ত পদটি নির্ণয় করি:

\(T_{3+1} = T_4 = \binom{8}{3} 2^{8-3} \left(-\frac{1}{4}\right)^3\)

\(T_4 = \binom{8}{3} 2^5 \left(-\frac{1}{4}\right)^3\)

আমরা জানি,

\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)

\(2^5 = 32\)

\(\left(-\frac{1}{4}\right)^3 = -\frac{1}{4^3} = -\frac{1}{64}\)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(T_4 = 56 \times 32 \times \left(-\frac{1}{64}\right)\)

\(T_4 = 56 \times \left(-\frac{32}{64}\right)\)

\(T_4 = 56 \times \left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(T_4 = -28\)

অতএব, বিস্তৃতিতে x মুক্ত সংখ্যাটি হলো -28।