$(3a+1{)}^3-(2a-3{)}^3$ এর উৎপাদক কোনটি?

প্রদত্ত রাশিটি হলো \((3a+1)^3 - (2a-3)^3\)।

এটি বীজগণিতের \(x^3 - y^3\) সূত্রটির অনুরূপ, যেখানে \(x = (3a+1)\) এবং \(y = (2a-3)\)।

সূত্রটি হলো: \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\)।

এখন, আমরা ধাপে ধাপে প্রতিটি অংশ নির্ণয় করি:

১. \((x-y)\) নির্ণয়:

\(x-y = (3a+1) - (2a-3)\)

\(= 3a+1 - 2a + 3\)

\(= (3a-2a) + (1+3)\)

\(= a+4\)

২. \(x^2\) নির্ণয়:

\(x^2 = (3a+1)^2\)

\(= (3a)^2 + 2(3a)(1) + (1)^2\)

\(= 9a^2 + 6a + 1\)

৩. \(y^2\) নির্ণয়:

\(y^2 = (2a-3)^2\)

\(= (2a)^2 - 2(2a)(3) + (3)^2\)

\(= 4a^2 - 12a + 9\)

৪. \(xy\) নির্ণয়:

\(xy = (3a+1)(2a-3)\)

\(= 3a(2a-3) + 1(2a-3)\)

\(= 6a^2 - 9a + 2a - 3\)

\(= 6a^2 - 7a - 3\)

৫. \((x^2 + xy + y^2)\) নির্ণয়:

এবার আমরা \(x^2\), \(xy\) এবং \(y^2\) এর মানগুলো যোগ করি:

\(x^2 + xy + y^2 = (9a^2 + 6a + 1) + (6a^2 - 7a - 3) + (4a^2 - 12a + 9)\)

\(= (9a^2 + 6a^2 + 4a^2) + (6a - 7a - 12a) + (1 - 3 + 9)\)

\(= 19a^2 + (-13a) + 7\)

\(= 19a^2 - 13a + 7\)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপটি হলো:

\((x-y)(x^2 + xy + y^2) = (a+4)(19a^2 - 13a + 7)\)

প্রদত্ত অপশনগুলো পর্যালোচনা করলে দেখা যায়:

    
• অপশন ১: \((a+4)\ (19a^2+13a+7)\) - এই অপশনের দ্বিতীয় উৎপাদকে \(a\)-এর সহগ \(+13\) আছে, যা আমাদের প্রাপ্ত \(-13a\) এর সাথে মেলে না।
    
• অপশন ২: \((a-4)\ (19a^2-13a+7)\) - এই অপশনের প্রথম উৎপাদক \((a-4)\) আছে, যা আমাদের প্রাপ্ত \((a+4)\) এর সাথে মেলে না।
    
• অপশন ৩: \((a+4)\ (19a^2+13a-7)\) - এই অপশনের দ্বিতীয় উৎপাদকে \(a\)-এর সহগ \(+13\) এবং ধ্রুবক পদ \(-7\) আছে, যা আমাদের প্রাপ্ত \(-13a\) এবং \(+7\) এর সাথে মেলে না।

আমাদের নির্ণীত সঠিক উৎপাদক \((a+4)(19a^2 - 13a + 7)\) প্রদত্ত কোনো অপশনের সাথে হুবহু মিলছে না।

অতএব, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।