ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিত (Algebra) - গণিত -

115

MCQ: 196 CQ: 178

Practice

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a \times a \times a = a^{3}$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সূত্র ৭. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

সূত্র ৮. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

$= (a + b) {(a + b)^{2} - 3 a b}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b)$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

সূত্র ৯. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

$= (a - b) {(a - b)^{2} + 3 a b}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + 3 a b)$

$= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x + 3 y)^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} . 3 y + 3.2 x (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= 8 x^{3} + 3.4 x^{2} . 3 y + 3.2 x . 9 y^{2} + 27 y^{3}$

$= 8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x - y)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 3.4 x^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$ এর মান কত?

সমাধান: $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$

$= (2 x)^{3} + 3 . (2 x)^{2} . 6 + 3.2 x . (6)^{2} + (6)^{3}$

$= (2 x + 6)^{3} = (2 \times 37 + 6)^{3}$ [মান বসিয়ে]

$= (74 + 6)^{3} = (80)^{3} = 512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান: $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) + 8 {(x - y)^{2} + 4 x y}$

$= (8)^{3} + 3 \times 5 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$ [মান বসিয়ে]

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 \times 84$

$= 8 (8^{2} + 15 + 84) = 8 (64 + 15 + 84)$

$= 8 \times 163 = 1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18 \sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^{5} + y^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$= 2 (5^{2} - 2.6) = 2 \times 13 = 26$

$∴ 2 (x^{2} + y^{2}) = 26$

খ) দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x y = 6, x > y$

$∴ x - y = \sqrt{{(x + y)}^{2} - 4 x y}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$= \sqrt{5^{2} - 4 \times 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

$x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) - \frac{3}{2} . 2 (x^{2} + y^{2})$

$= 1^{3} + 3.6.1 - \frac{3}{2} . 26$

$= 1 + 18 - 39$

$= - 20$

$∴ x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2}) = - 20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $∴ x = \frac{6}{2} = 3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $∴ y = \frac{4}{2} = 2$

$∴ x^{5} + y^{5} = 3^{5} + 2^{5} = 243 + 32 = 275$

Content added By

Najjar Hossain Raju

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}} =$ কতো?

100

105

110

115

2.
a + b = c হলে $a^{3} + b^{3} + 3 a b c$ =?

a^{3}

b^{3}

c^{3}

পিএসসি ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষা বাংলাদেশ নৌবাহিনী - উচ্চমান সহকারী/স্টোর হাউজম্যান Primary Teacher Primary Assistant Teacher-2010 DPE Primary Head Teacher-2008 Pre-Primary Teacher-2013 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

3.
$x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

4.
If $a^{3} - b^{3} = 513$ , a - b = 3, then the value of ab?

পিএসসি ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষা সমাজসেবা অধিদপ্তর — অফিস সহকারী কাম-কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক BCS 11th BCS Preli-2011 NTRCA 12th NTRCA -2015 DPE Primary Head Teacher-2009 Primary Teacher Pre-Primary Teacher-2013 OCAG Auditor-2014 DSS – Field Supervisor-2018 DGFP MLSS / Security Guard-2023 BREB – Meter Reader-cum-Messenger-2023 BREB – Assistant Junior Engineer-2023 DoF – Office Asst. Cum Computer Typist-2025 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

5.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}}$ মান কত?

100

105

110

115

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (196)

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}} =$ কতো?

2.
a + b = c হলে $a^{3} + b^{3} + 3 a b c$ =?

3.
$x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

4.
If $a^{3} - b^{3} = 513$ , a - b = 3, then the value of ab?

5.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}}$ মান কত?

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1. p+1p=5 হলে p3+1p3= কতো?

2. a + b = c হলে a3 + b3 + 3abc =?

3. x + 1x= 2 হলে, x3+1x3 এর মান কত?

4. If a3-b3=513, a - b = 3, then the value of ab?

5. p+1p=5 হলে p3+1p3 মান কত?

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

1.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}} =$ কতো?

2.
a + b = c হলে $a^{3} + b^{3} + 3 a b c$ =?

3.
$x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

4.
If $a^{3} - b^{3} = 513$ , a - b = 3, then the value of ab?

5.
$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}}$ মান কত?