${\left(3x^2-\frac{1}{x}\right)}^{14}$ এর বিস্তৃতিতে কততম পদে $x^{10}$ পাওয়া যাবে?

দ্বিপদী উপপাদ্যের (Binomial Theorem) সাহায্যে কোনো বিস্তৃতির সাধারণ পদ (general term) নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে আমরা এই সমস্যার সমাধান করব।

দেওয়া আছে, বিস্তৃতিটি হলো \(\left(3x^2 - \frac{1}{x}\right)^{14}\)।

এখানে, প্রথম পদ \(a = 3x^2\), দ্বিতীয় পদ \(b = -\frac{1}{x}\), এবং ঘাত \(n = 14\)।

আমরা জানি, \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদ (\(T_{r+1}\)) হলো:

\(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)

এই সূত্রে প্রদত্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:

\(T_{r+1} = \binom{14}{r} (3x^2)^{14-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r\)

পদটিকে সরল করে \(x\) এর ঘাত নির্ণয় করি:

\(T_{r+1} = \binom{14}{r} 3^{14-r} (x^2)^{14-r} (-1)^r (x^{-1})^r\)

\(T_{r+1} = \binom{14}{r} 3^{14-r} (-1)^r x^{2(14-r)} x^{-r}\)

\(T_{r+1} = \binom{14}{r} 3^{14-r} (-1)^r x^{28-2r-r}\)

\(T_{r+1} = \binom{14}{r} 3^{14-r} (-1)^r x^{28-3r}\)

প্রশ্নানুসারে, আমরা \(x^{10}\) যুক্ত পদটি চাই। তাই, \(x\) এর ঘাতকে 10 এর সমান বসিয়ে \(r\) এর মান নির্ণয় করি:

\(28 - 3r = 10\)

\(3r = 28 - 10\)

\(3r = 18\)

\(r = \frac{18}{3}\)

\(r = 6\)

\(r\) এর মান 6 হলে, পদ সংখ্যা (\(r+1\)) হবে:

পদ সংখ্যা = \(6+1 = 7\)

সুতরাং, বিস্তৃতির 7ম পদে \(x^{10}\) পাওয়া যাবে।