(5, -3) বিন্দু থেকে 3x - 4y - 2 = 0 রেখার উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরা যাক, প্রদত্ত বিন্দুটি হলো \(P(x_1, y_1) = (5, -3)\) এবং প্রদত্ত রেখাটি হলো \(3x - 4y - 2 = 0\)।

আমরা এই বিন্দু থেকে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করব। ধরি, লম্বের পাদবিন্দুটি হলো \(Q(x, y)\)।

ধাপ ১: প্রদত্ত রেখার ঢাল নির্ণয়

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ \(3x - 4y - 2 = 0\)।
এই সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) আকারে প্রকাশ করি:
\(4y = 3x - 2\)
\(y = \frac{3}{4}x - \frac{2}{4}\)
সুতরাং, প্রদত্ত রেখার ঢাল \(m_1 = \frac{3}{4}\)।

ধাপ ২: লম্ব রেখার ঢাল নির্ণয়

যেহেতু লম্ব রেখাটি প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব, তাই তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল -1 হবে।
যদি লম্ব রেখার ঢাল \(m_2\) হয়, তাহলে \(m_1 m_2 = -1\)
\(\frac{3}{4} \times m_2 = -1\)
\(m_2 = -\frac{4}{3}\)

ধাপ ৩: লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয়

লম্ব রেখাটি \(P(5, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং এর ঢাল \(m_2 = -\frac{4}{3}\)।
একটি বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ হলো \(y - y_1 = m(x - x_1)\)।
\(y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 5)\)
\(y + 3 = -\frac{4}{3}(x - 5)\)
\(3(y + 3) = -4(x - 5)\)
\(3y + 9 = -4x + 20\)
\(4x + 3y = 20 - 9\)
\(4x + 3y = 11\) --- (ii) (এটিই লম্ব রেখার সমীকরণ)

ধাপ ৪: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়

লম্বের পাদবিন্দু \(Q(x, y)\) হলো প্রদত্ত রেখা \(3x - 4y - 2 = 0\) এবং লম্ব রেখা \(4x + 3y = 11\) এর ছেদবিন্দু।
প্রদত্ত রেখার সমীকরণটি হলো: \(3x - 4y = 2\) --- (i)
লম্ব রেখার সমীকরণটি হলো: \(4x + 3y = 11\) --- (ii)

এই সমীকরণ জোট সমাধান করে \(x\) ও \(y\) এর মান নির্ণয় করি।
(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করি:
\(3 \times (3x - 4y) = 3 \times 2 \Rightarrow 9x - 12y = 6\) --- (iii)
\(4 \times (4x + 3y) = 4 \times 11 \Rightarrow 16x + 12y = 44\) --- (iv)

(iii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
\((9x - 12y) + (16x + 12y) = 6 + 44\)
\(25x = 50\)
\(x = \frac{50}{25}\)
\(x = 2\)

\(x = 2\) মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\(3(2) - 4y = 2\)
\(6 - 4y = 2\)
\(-4y = 2 - 6\)
\(-4y = -4\)
\(y = 1\)

সুতরাং, লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \((2, 1)\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

একটি বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে \(ax + by + c = 0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x_2, y_2)\) নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\(\frac{x_2 - x_1}{a} = \frac{y_2 - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}\)

এখানে, প্রদত্ত বিন্দু \((x_1, y_1) = (5, -3)\) এবং রেখার সমীকরণ \(3x - 4y - 2 = 0\)।
তাহলে, \(a=3, b=-4, c=-2\)।

সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(\frac{x_2 - 5}{3} = \frac{y_2 - (-3)}{-4} = -\frac{3(5) + (-4)(-3) - 2}{3^2 + (-4)^2}\)

\(\frac{x_2 - 5}{3} = \frac{y_2 + 3}{-4} = -\frac{15 + 12 - 2}{9 + 16}\)

\(\frac{x_2 - 5}{3} = \frac{y_2 + 3}{-4} = -\frac{25}{25}\)

\(\frac{x_2 - 5}{3} = \frac{y_2 + 3}{-4} = -1\)

এখন, প্রতিটি অংশকে \(-1\) এর সমান ধরি:

\(\frac{x_2 - 5}{3} = -1\)
\(x_2 - 5 = -3\)
\(x_2 = 5 - 3\)
\(x_2 = 2\)

এবং

\(\frac{y_2 + 3}{-4} = -1\)
\(y_2 + 3 = 4\)
\(y_2 = 4 - 3\)
\(y_2 = 1\)

সুতরাং, লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \((2, 1)\)।