5.0 75 এর মূলনীয় ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

প্রদত্ত পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাটি হলো \(5.0\overline{75}\)।

আমরা এটিকে মূলদীয় ভগ্নাংশে রূপান্তর করব।

ধরি, \(x = 5.0\overline{75}\)

বা, \(x = 5.0757575...\) (1)

দশমিক বিন্দুর পর অনাবৃত (non-repeating) অংশটি সরিয়ে ফেলার জন্য (যেহেতু একটি অনাবৃত অঙ্ক '0' আছে), সমীকরণ (1) কে 10 দিয়ে গুণ করি:

\(10x = 50.757575...\) (2)

দশমিক বিন্দুর পর আবৃত (repeating) অংশে দুটি অঙ্ক ('75') আছে, তাই সমীকরণ (2) কে 100 দিয়ে গুণ করি:

\(100 \times (10x) = 100 \times (50.757575...)\)

বা, \(1000x = 5075.757575...\) (3)

এখন, সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করি:

\(1000x - 10x = 5075.7575... - 50.7575...\)

বা, \(990x = 5025\)

বা, \(x = \frac{5025}{990}\)

এই ভগ্নাংশটিকে সরল করতে হবে। লব ও হর উভয়ই 5 দ্বারা বিভাজ্য:

\(x = \frac{5025 \div 5}{990 \div 5} = \frac{1005}{198}\)

এখন লব ও হর উভয়ই 3 দ্বারা বিভাজ্য:

\(x = \frac{1005 \div 3}{198 \div 3} = \frac{335}{66}\)

সুতরাং, \(5.0\overline{75}\) এর মূলদীয় ভগ্নাংশ হলো \(\frac{335}{66}\)।

যেকোনো পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাকে মূলদীয় ভগ্নাংশে রূপান্তরের জন্য একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা যায়। যদি সংখ্যাটি \(A.BCD\overline{EF}\) আকারের হয় (যেখানে \(BCD\) অনাবৃত অংশ এবং \(EF\) আবৃত অংশ), তবে এর ভগ্নাংশ রূপটি হবে:

\(\frac{\text{দশমিক বিন্দু ছাড়া সম্পূর্ণ সংখ্যা - দশমিক বিন্দুর অনাবৃত অংশ}}{\text{যতটি আবৃত অঙ্ক আছে ততটি 9 এবং যতটি অনাবৃত দশমিক অঙ্ক আছে ততটি 0}}\)

প্রদত্ত সংখ্যা \(5.0\overline{75}\) এর জন্য:

    
• দশমিক বিন্দু ছাড়া সম্পূর্ণ সংখ্যা: \(5075\)
    
• দশমিক বিন্দুর অনাবৃত অংশ (দশমিকের বাম দিক সহ): \(50\) (কারণ 5.0 তে '0' অনাবৃত)
    
• আবৃত অঙ্ক সংখ্যা: 2টি (7 এবং 5) – তাই দুটি 9 (\(99\))
    
• অনাবৃত দশমিক অঙ্ক সংখ্যা: 1টি (0) – তাই একটি 0 (\(0\))
    
• সুতরাং হর হবে: \(990\)

অতএব, ভগ্নাংশটি হবে:

\( = \frac{5075 - 50}{990}\)

\( = \frac{5025}{990}\)

এখন এই ভগ্নাংশটিকে সরল করি:

\( = \frac{5025 \div 5}{990 \div 5} = \frac{1005}{198}\)

\( = \frac{1005 \div 3}{198 \div 3} = \frac{335}{66}\)