70 students are enrolled in management, Accounting and Marketing course. 40 student are management,35 in accounting and 30 in marketing, 15 students are enrolled all course. How many student are enrolled in exactly tow of the course.

এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আমরা সেটের অন্তর্ভুক্তির-বর্জন নীতি (Principle of Inclusion-Exclusion) ব্যবহার করব।

প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• মোট শিক্ষার্থী (যারা অন্তত একটি কোর্সে ভর্তি) = \(|M \cup A \cup K|\) = 70 জন
    
• ম্যানেজমেন্ট কোর্সে শিক্ষার্থী (M) = 40 জন
    
• অ্যাকাউন্টিং কোর্সে শিক্ষার্থী (A) = 35 জন
    
• মার্কেটিং কোর্সে শিক্ষার্থী (K) = 30 জন
    
• সবগুলো কোর্সে (ম্যানেজমেন্ট, অ্যাকাউন্টিং ও মার্কেটিং) ভর্তি শিক্ষার্থী = \(|M \cap A \cap K|\) = 15 জন

আমরা জানি, তিনটি সেটের জন্য অন্তর্ভুক্তির-বর্জন নীতি অনুযায়ী:

\(|M \cup A \cup K| = |M| + |A| + |K| - (|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|) + |M \cap A \cap K|\)

এখন, প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসাই:

\(70 = 40 + 35 + 30 - (|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|) + 15\)

\(70 = 105 - (|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|) + 15\)

\(70 = 120 - (|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|)\)

এখন, \((|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|)\) এর মান বের করি। এটি হলো অন্তত দুটি কোর্সে ভর্তি শিক্ষার্থীদের যোগফল (তবে, এখানে যারা তিনটি কোর্সে ভর্তি, তাদেরকে প্রতি জোড়ায় একবার করে ধরা হয়েছে)।

\((|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|) = 120 - 70\)

\((|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|) = 50\)

এই 50 জন শিক্ষার্থী হলো যারা কমপক্ষে দুটি কোর্সে ভর্তি। অর্থাৎ, এই যোগফলের মধ্যে যারা ঠিক দুটি কোর্সে ভর্তি (exactly two) এবং যারা ঠিক তিনটি কোর্সে ভর্তি (exactly three), উভয়ই অন্তর্ভুক্ত। যারা তিনটি কোর্সে ভর্তি (15 জন), তারা প্রতিটি জোড়ার ইন্টারসেকশনে (যেমন M এবং A-এর ইন্টারসেকশন, M এবং K-এর ইন্টারসেকশন, A এবং K-এর ইন্টারসেকশন) একবার করে ধরা হয়। তাই, 15 জন শিক্ষার্থীকে 3 বার গণনা করা হয়েছে।

ধরি, ঠিক দুটি কোর্সে ভর্তি শিক্ষার্থীর সংখ্যা \(X\)।

তাহলে, \((|M \cap A| + |M \cap K| + |A \cap K|)\) = (ঠিক দুটি কোর্সে ভর্তি শিক্ষার্থী) + 3 \(\times\) (ঠিক তিনটি কোর্সে ভর্তি শিক্ষার্থী)

সুতরাং, \(50 = X + 3 \times 15\)

\(50 = X + 45\)

\(X = 50 - 45\)

\(X = 5\)

অতএব, ঠিক দুটি কোর্সে ভর্তি শিক্ষার্থীর সংখ্যা হলো 5 জন।