9 জন লোকের একটি দল দুটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, এ যানবাহনের একটিতে 7 জনের বেশী অপরটিতে 4 জনের বেশি ধরে না। দলটি কত রকম ভ্রমণ করতে পারবে?

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে:

    
• মোট লোক সংখ্যা = 9 জন
    
• দুটি যানবাহন আছে।
    
• প্রথম যানবাহনের ধারণ ক্ষমতা (সর্বোচ্চ) = 7 জন
    
• দ্বিতীয় যানবাহনের ধারণ ক্ষমতা (সর্বোচ্চ) = 4 জন

ধরি, প্রথম যানবাহনে A সংখ্যক লোক এবং দ্বিতীয় যানবাহনে B সংখ্যক লোক ভ্রমণ করবে।

মোট লোক সংখ্যা 9 জন হওয়ায়, A + B = 9 হবে।

যানবাহনের ধারণ ক্ষমতা অনুযায়ী শর্তগুলো হলো:

    
1. A \(\le\) 7
    
2. B \(\le\) 4

আমরা B এর সম্ভাব্য মানগুলি বের করব।

যেহেতু A + B = 9, তাই A = 9 - B।

এখন, A \(\le\) 7 শর্তে A এর মান বসালে পাই:

9 - B \(\le\) 7

\(\implies\) -B \(\le\) 7 - 9

\(\implies\) -B \(\le\) -2

\(\implies\) B \(\ge\) 2 (উভয় পাশে -1 দ্বারা গুণ করার ফলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয়)

অন্যদিকে, B \(\le\) 4 শর্তটি আগেই দেওয়া আছে।

সুতরাং, B এর সম্ভাব্য পূর্ণসংখ্যা মানগুলো হলো 2, 3, এবং 4।

আমরা প্রতিটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে দল গঠনের উপায় গণনা করব:

কেস 1: দ্বিতীয় যানবাহনে 2 জন লোক (B=2)

যদি দ্বিতীয় যানবাহনে 2 জন লোক যায়, তবে প্রথম যানবাহনে যাবে 9 - 2 = 7 জন লোক।

এই ক্ষেত্রে, A=7 এবং B=2। এটি উভয় শর্ত A \(\le\) 7 এবং B \(\le\) 4 পূরণ করে।

9 জন লোক থেকে 2 জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো:

\( \binom{9}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \) টি।

কেস 2: দ্বিতীয় যানবাহনে 3 জন লোক (B=3)

যদি দ্বিতীয় যানবাহনে 3 জন লোক যায়, তবে প্রথম যানবাহনে যাবে 9 - 3 = 6 জন লোক।

এই ক্ষেত্রে, A=6 এবং B=3। এটি উভয় শর্ত A \(\le\) 7 এবং B \(\le\) 4 পূরণ করে।

9 জন লোক থেকে 3 জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো:

\( \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84 \) টি।

কেস 3: দ্বিতীয় যানবাহনে 4 জন লোক (B=4)

যদি দ্বিতীয় যানবাহনে 4 জন লোক যায়, তবে প্রথম যানবাহনে যাবে 9 - 4 = 5 জন লোক।

এই ক্ষেত্রে, A=5 এবং B=4। এটি উভয় শর্ত A \(\le\) 7 এবং B \(\le\) 4 পূরণ করে।

9 জন লোক থেকে 4 জনকে দ্বিতীয় যানবাহনের জন্য বেছে নেওয়ার উপায় হলো:

\( \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126 \) টি।

দলটি মোট যত রকম ভ্রমণ করতে পারবে তা হবে উপরের প্রতিটি কেসের উপায়ের যোগফল:

মোট উপায় = কেস 1 এর উপায় + কেস 2 এর উপায় + কেস 3 এর উপায়

= 36 + 84 + 126

= 246

সুতরাং, দলটি 246 রকম ভ্রমণ করতে পারবে।