$9x^4{y}^3-8x^6+4x{y}^3+7$ বহুপদীর ঘাত কত-

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

দ্বিঘাত সমীকরণ হল এমন একটি সমীকরণ, যেখানে চলকটির সর্বোচ্চ ঘাত বা ক্ষমতা \( 2 \)। অর্থাৎ, দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের ঘাত সর্বোচ্চ \( x^2 \) পর্যন্ত থাকে। একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ নিচের রূপে লেখা যায়:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

এখানে, \( a \), \( b \), এবং \( c \) হল সমীকরণের ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্ট পদ এবং \( a \neq 0 \)। \( a = 0 \) হলে এটি আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না।

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (roots) নির্ণয় করতে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। নিম্নে কিছু প্রচলিত পদ্ধতির উল্লেখ করা হলো:

১. বর্গ পূর্ণকরণের মাধ্যমে (Completing the Square)

বর্গ পূর্ণকরণের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়। এখানে মূলত \( x \)-এর একটি নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা হয় যাতে দ্বিঘাত অংশটি একটি পূর্ণ বর্গে পরিণত হয়।

২. মূল সূত্র (Quadratic Formula)

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ এবং নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি হল মূল সূত্র ব্যবহার করা। এটি হলো:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

এখানে, \( b^2 - 4ac \) অংশটিকে বর্গমূল বিচ্ছিন্নকরণ বা ডিসক্রিমিন্যান্ট বলা হয়, যা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সংখ্যা এবং প্রকৃতি নির্ধারণে সহায়ক।

• যদি \( b^2 - 4ac > 0 \) হয়, তবে সমীকরণের দুইটি বাস্তব মূল থাকে।
• যদি \( b^2 - 4ac = 0 \) হয়, তবে সমীকরণের একটি বাস্তব মূল থাকে।
• যদি \( b^2 - 4ac < 0 \) হয়, তবে সমীকরণের কোন বাস্তব মূল থাকে না; এই ক্ষেত্রে মূলগুলো কাল্পনিক হয়।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \)। এখানে,

\[
a = 2, , b = 4, , c = -6
\]

মূল সূত্র প্রয়োগ করে,

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4 \times 2 \times (-6)}}{2 \times 2}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm 8}{4}
\]

এখানে, \( x = 1 \) এবং \( x = -3 \) দুটি মূল পাওয়া যায়।