$a = \sqrt{6}+ \sqrt{5}$ হলে $\frac{a^6-1}{a^3}$ এর মান কত?

প্রথমে প্রদত্ত রাশিটিকে সরল করে পাই:

\[ \frac{a^6 - 1}{a^3} = \frac{a^6}{a^3} - \frac{1}{a^3} = a^3 - \frac{1}{a^3} \]

এখন, \(a\) এর মান ব্যবহার করে \(\frac{1}{a}\) এর মান নির্ণয় করি।

প্রদত্ত আছে: \(a = \sqrt{6} + \sqrt{5}\)

তাহলে, \( \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \) দ্বারা গুণ করি:

\[ \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} \]

\[ \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \]

\[ \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} \]

\[ \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \]

\[ \frac{1}{a} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \]

এখন, \(a - \frac{1}{a}\) এর মান নির্ণয় করি:

\[ a - \frac{1}{a} = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) - (\sqrt{6} - \sqrt{5}) \]

\[ a - \frac{1}{a} = \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{5} \]

\[ a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{5} \]

এখন, \(a^3 - \frac{1}{a^3}\) এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, \(x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)\)

এখানে \(x=a\) এবং \(y=\frac{1}{a}\) ধরলে পাই:

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \left(a - \frac{1}{a}\right) \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \left(a - \frac{1}{a}\right) \]

\(a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{5}\) এর মান বসিয়ে পাই:

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = (2\sqrt{5})^3 + 3 (2\sqrt{5}) \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = 2^3 \cdot (\sqrt{5})^3 + 6\sqrt{5} \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = 8 \cdot (5\sqrt{5}) + 6\sqrt{5} \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = 40\sqrt{5} + 6\sqrt{5} \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = (40 + 6)\sqrt{5} \]

\[ a^3 - \frac{1}{a^3} = 46\sqrt{5} \]

সুতরাং, \( \frac{a^6 - 1}{a^3} \) এর মান \(46\sqrt{5}\)।