“a” এর মান কত হলে $a\stackrel{\rightharpoonup }{i} -2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k }$ এবং $2a\overrightarrow{i} – a\overrightarrow{j} –4\overrightarrow{k}$ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে?

যে দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হবে, তাদের গুণফল (dot product) 0 হতে হবে।

প্রথম ভেক্টর দেওয়া হয়েছে:
\[
\mathbf{a} = a \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}
\]
দ্বিতীয় ভেক্টর:
\[
\mathbf{b} = 2a \hat{i} - a \hat{j} - 4 \hat{k}
\]

এই দুটি ভেক্টর লম্ব (orthogonal) হবে যদি তাদের গুণফল 0 হয়। অর্থাৎ:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
\]

এখন, ভেক্টর গুণফল সূত্র ব্যবহার করি:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (a \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2a \hat{i} - a \hat{j} - 4 \hat{k})
\]

ভেক্টরের গুণফল করতে, প্রতিটি উপাদান অনুযায়ী গুণফল হিসাব করি:

\[
a \cdot 2a = 2a^2 \quad (\hat{i} \cdot \hat{i} = 1)
\]
\[
-2 \cdot -a = 2a \quad (\hat{j} \cdot \hat{j} = 1)
\]
\[
1 \cdot -4 = -4 \quad (\hat{k} \cdot \hat{k} = 1)
\]

অতএব,

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2a^2 + 2a - 4
\]

এখন, সমীকরণটিকে 0 সেট করি:

\[
2a^2 + 2a - 4 = 0
\]

এটি সমাধান করতে \( 2 \) দ্বারা ভাগ করি:

\[
a^2 + a - 2 = 0
\]

এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণটির সমাধান বের করি:

\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1}
\]
\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
\]
\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}
\]
\[
a = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

অতএব, দুটি সমাধান:

\[
a = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad \text{অথবা} \quad a = \frac{-1 - 3}{2} = -2
\]

চূড়ান্ত উত্তর:
\( a \) এর মান 1 অথবা -2  হতে পারে, যাতে দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হয়।