A person travels from x to y at a speed of 40 km/h and returns by increasing his speed 50%. What is his average speed for both the trips?

যাতায়াত সংক্রান্ত গড় গতিবেগের সমস্যা সমাধানের জন্য, আমাদের মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়।

ধরি, x থেকে y পর্যন্ত দূরত্ব হলো \(d\) কিমি।

১. x থেকে y তে যাওয়ার গতিবেগ (\(v_1\)) = 40 কিমি/ঘণ্টা।
এই পথে যেতে সময় লাগে (\(t_1\)) = \(\frac{d}{40}\) ঘণ্টা।

২. ফেরার পথে গতিবেগ 50% বৃদ্ধি পায়।
বৃদ্ধির পরিমাণ = 40 কিমি/ঘণ্টার 50% = \(40 \times \frac{50}{100} = 20\) কিমি/ঘণ্টা।
ফেরার পথের গতিবেগ (\(v_2\)) = \(40 + 20 = 60\) কিমি/ঘণ্টা।
ফেরার পথে (y থেকে x) যেতে সময় লাগে (\(t_2\)) = \(\frac{d}{60}\) ঘণ্টা।

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = \(d\) (যাওয়া) + \(d\) (আসা) = \(2d\) কিমি।

মোট সময় = \(t_1 + t_2 = \frac{d}{40} + \frac{d}{60}\) ঘণ্টা।
লসাগু (LCM) হলো 120।
মোট সময় = \(\frac{3d + 2d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24}\) ঘণ্টা।

গড় গতিবেগ = \(\frac{\text{মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}\)
গড় গতিবেগ = \(\frac{2d}{\frac{d}{24}}\)
গড় গতিবেগ = \(2d \times \frac{24}{d}\)
গড় গতিবেগ = \(2 \times 24 = 48\) কিমি/ঘণ্টা।

যদি একই দূরত্ব (\(d\)) দুটি ভিন্ন গতিবেগে (\(v_1\) এবং \(v_2\)) অতিক্রম করা হয়, তাহলে গড় গতিবেগের সূত্র হলো:

\(\text{গড় গতিবেগ} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}\)

এখানে, \(v_1 = 40\) কিমি/ঘণ্টা।
\(v_2 = 40 \times (1 + 0.50) = 40 \times 1.5 = 60\) কিমি/ঘণ্টা।

\(\text{গড় গতিবেগ} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60}\)
\(\text{গড় গতিবেগ} = \frac{2 \times 2400}{100}\)
\(\text{গড় গতিবেগ} = \frac{4800}{100}\)
\(\text{গড় গতিবেগ} = 48\) কিমি/ঘণ্টা।