A triangle has a perimeter 13. The two shorter sides have integer lengths equal to x and x + 1. Which of the following could be length of the other side?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজটির বাহু তিনটি হলো \(a\), \(b\) এবং \(c\)।

প্রশ্নমতে, দুটি ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে পূর্ণসংখ্যা \(x\) এবং \(x + 1\)।

অতএব, \(a = x\) এবং \(b = x + 1\)

দেওয়া আছে, ত্রিভুজটির পরিসীমা = \(13\)

সুতরাং, বাহু তিনটির যোগফল:

\(a + b + c = 13\)

\(\Rightarrow x + (x + 1) + c = 13\)

\(\Rightarrow 2x + 1 + c = 13\)

\(\Rightarrow c = 12 - 2x\)

এখানে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বৈশিষ্ট্য অনুসারে শর্তসমূহ নিচে বিশ্লেষণ করা হলো:

১. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল অপর বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

\(a + b > c\)

\(\Rightarrow 2x + 1 > 12 - 2x\)

\(\Rightarrow 4x > 11\)

\(\Rightarrow x > 2.75\)

যেহেতু \(x\) একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই \(x\)-এর সর্বনিম্ন মান হতে পারে \(3\) (অর্থাৎ, \(x \ge 3\))।

২. যেহেতু \(x\) ও \(x + 1\) হলো দুটি ছোট বাহু, তাই অন্য বাহু \(c\) অবশ্যই \(x + 1\)-এর চেয়ে বড় বা সমান হতে হবে।

\(c \ge x + 1\)

\(\Rightarrow 12 - 2x \ge x + 1\)

\(\Rightarrow 3x \le 11\)

\(\Rightarrow x \le 3.67\)

যেহেতু \(x\) একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই \(x\)-এর সর্বোচ্চ মান হতে পারে \(3\) (অর্থাৎ, \(x \le 3\))।

উপরের উভয় শর্ত সমাধান করে পাই, \(x = 3\)।

অতএব, বাহু তিনটির মান যথাক্রমে:

প্রথম বাহু, \(a = x = 3\)

দ্বিতীয় বাহু, \(b = x + 1 = 3 + 1 = 4\)

তৃতীয় বাহু (অপর বাহু), \(c = 12 - 2(3) = 12 - 6 = 6\)

যদি অপর বাহুর দৈর্ঘ্য \(6\) ধরা হয়, তবে বাকি দুই বাহুর সমষ্টি হবে \(13 - 6 = 7\)।

দুটি পর পর পূর্ণসংখ্যা \(x\) ও \(x + 1\) এর যোগফল \(7\) হয় যখন বাহু দুটি \(3\) ও \(4\) হয় (\(3 + 4 = 7\))।

গঠিত বাহু তিনটি হলো \(3, 4\) এবং \(6\)। এখানে ত্রিভুজ গঠনের শর্ত \(3 + 4 > 6\) মেনে চলে। সুতরাং অপর বাহুর সঠিক দৈর্ঘ্য \(6\)।