A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

শক্তি সেট (Power Sets)

কোনো একটি সেটের সকল সম্ভাব্য উপসেটের সমষ্টিকে সেই সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

প্রতীক

যদি A একটি সেট হয়, তবে A-এর শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

একটি সেটের মধ্যে যতগুলো উপসেট তৈরি করা যায়, তাদের সবগুলো একত্র করলে যে সেট পাওয়া যায়, সেটিই শক্তি সেট।

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2\}$

তাহলে A-এর উপসেটগুলো হবে:

{∅}, {1}, {2}, {1,2}

অতএব শক্তি সেট হবে:

$P\left(A\right)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\left\}\right\}$

শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা

যদি কোনো সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে তার শক্তি সেটে উপাদান সংখ্যা হবে:

$2^n$

উদাহরণ

যদি A = {1, 2, 3} হয়, তবে n = 3

$2^3=8$

অতএব শক্তি সেটে মোট 8টি উপসেট থাকবে।

বৈশিষ্ট্য

• শক্তি সেটে সব সম্ভাব্য উপসেট থাকে
• শূন্য সেট সব সেটের উপসেট
• মৌলিক সেট নিজেও শক্তি সেটে থাকে
• উপাদান সংখ্যা সর্বদা 2^n হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শক্তি সেট মানে হলো “একটি সেটের সব সম্ভাব্য উপসেটের সেট”।

মনে রাখার উপায়

“n উপাদান → শক্তি সেট = 2^n উপাদান” — এই সূত্র মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

A = {m, n} একটি সেট। A সেটের উপসেটসমূহ হলো {m, n}, {m}, {n}, Ø; এখানে উপসেটসমূহের সেট {{m, n}, {m}, {n}, Ø} কে A সেটের শক্তি সেট বলা হয়। A সেটের শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং কোনো সেটের সকল উপসেট দ্বারা গঠিত সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

উদাহরণ ১. A = Ø, B = {a}, C = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান : এখানে, P(A) = {Ø}

$\therefore$ A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 1 = $2^n$

আবার, P(B) = {{a}, Ø}

$\therefore$ B সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2 = $2^1$

এবং P(C) = {{a}, {6}, {a, b}, Ø}

$\therefore$ C সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 = $2^2$

সুতরাং, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হবে $2^n$