$a=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ হলে, $a^6$ = ?

এখানে প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটি হলো:

\(a = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\)

এটি জটিল সংখ্যার একটি বিশেষ রূপ যা ঘনমূলের (cube root) সাথে সম্পর্কিত। আমরা জানি, 1 এর কাল্পনিক ঘনমূলগুলো হলো \(\omega\) (ওমেগা) এবং \(\omega^2\) (ওমেগা স্কয়ার)।

এর মধ্যে, \(\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\) এবং \(\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\)।

সুতরাং, প্রদত্ত \(a\) আসলে \(\omega\) এর সমান।

জটিল ঘনমূলের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো, \(\omega^3 = 1\)।

এখন, আমাদের \(a^6\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু \(a = \omega\), তাহলে:

\(a^6 = \omega^6\)

আমরা \(\omega^6\) কে এভাবে লিখতে পারি:

\(\omega^6 = (\omega^3)^2\)

আমরা জানি যে \(\omega^3 = 1\), তাই এই মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\omega^6 = (1)^2\)

\(\omega^6 = 1\)

সুতরাং, \(a^6 = 1\)।