ABCD চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে-

i. A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত

ii. $\angle ABC + \angle ADC = 180°$

iii.$\angle ABC+\angle BCD = 180°$

নিচের কোনটি সঠিক?

আমরা জানি, যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত, তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলে। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়, অর্থাৎ তাদের যোগফল \(180^\circ\)।

এর বিপরীত উপপাদ্যটিও সত্য: যদি কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো সম্পূরক হয়, তবে চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ হবে এবং এর চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্ত (concyclic) হবে।

প্রশ্নানুসারে, ABCD চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ সম্পূরক। ধরা যাক, \(\angle A + \angle C = 180^\circ\)।

    
•         

  i. A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত:

          

  যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ সম্পূরক, তাই উপপাদ্য অনুসারে চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ হবে। এর অর্থ হলো, A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। সুতরাং, i নম্বর উক্তিটি সঠিক।

      
    
•         

  ii. \(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\):

          

  যেহেতু চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ (উক্তি i থেকে), তাই এর অন্য একজোড়া বিপরীত কোণও (যেমন, \(\angle ABC\) এবং \(\angle ADC\)) সম্পূরক হবে। সুতরাং, \(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\)। তাই, ii নম্বর উক্তিটি সঠিক।

      
    
•         

  iii. \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\):

          

  \(\angle ABC\) এবং \(\angle BCD\) হলো চতুর্ভুজটির দুইটি সন্নিহিত কোণ। একটি সাধারণ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে সন্নিহিত কোণগুলো সর্বদা সম্পূরক হয় না। শুধুমাত্র বিশেষ কিছু ক্ষেত্রে (যেমন: আয়তক্ষেত্র বা সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজিয়াম) সন্নিহিত কোণগুলোর যোগফল \(180^\circ\) হতে পারে। কিন্তু সকল বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের জন্য এটি একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য নয়। সুতরাং, iii নম্বর উক্তিটি ভুল।

      

অতএব, উক্তি i ও ii সঠিক।