$\cos \left(\mathrm{\theta } - \frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)= 1$ সমীকরণটির সাধারণ সমাধান কোনটি? [যখন n$\in$ Z ]

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[ \cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = 1 \]

আমরা জানি যে, \(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)।

এখানে \(A = \theta\) এবং \(B = \frac{3\pi}{2}\)।

সুতরাং, সমীকরণটির বামপক্ষকে লেখা যায়:

\[ \cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\theta \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \sin\theta \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \]

আমরা জানি, \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\) এবং \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\)।

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ \cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\theta \cdot 0 + \sin\theta \cdot (-1) \] \[ \cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = 0 - \sin\theta \] \[ \cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\theta \]

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\[ -\sin\theta = 1 \] \[ \sin\theta = -1 \]

আমরা জানি যে, \(\sin\theta = -1\) এর সাধারণ সমাধান হলো:

\[ \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2} \]

অথবা, \(\theta = 2n\pi + \frac{3\pi}{2}\), যেখানে \(n \in Z\) (পূর্ণসংখ্যা)।

প্রদত্ত বিকল্পগুলো হলো:

    
1. \(n\pi + \frac{\pi}{4}\)
    
2. \(2n\pi \pm \frac{\pi}{4}\)
    
3. \(2n\pi - \frac{\pi}{4}\)
    
4. \(n\pi - \frac{\pi}{4}\)

পর্যালোচনা করলে দেখা যায় যে, আমাদের নির্ণীত সাধারণ সমাধান \(2n\pi - \frac{\pi}{2}\) এর সাথে প্রদত্ত কোনো বিকল্পই হুবহু মিলে না। প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে \(\frac{\pi}{4}\) রয়েছে, কিন্তু আমাদের সমাধানে \(\frac{\pi}{2}\) রয়েছে।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।