David has d books, which is times as many as Jeff and $\frac{1}{2}$ as many as Paula. How many books do the three of them have altogether, in terms of d?

বীজগণিতে অনেক সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহৃত হয়। আবার অনেক বীজগাণিতিক রাশি বিশ্লেষণ করে উৎপাদকের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়ে থাকে। তাই এ অধ্যায়ে বীজগাণিতিক সূত্রের সাহায্যে সমস্যা সমাধান এবং রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বিষয়ক বিষয়বস্তু শিক্ষার্থীর উপযোগী করে উপস্থাপন করা হয়েছে। অধিকন্তু নানাবিধ গাণিতিক সমস্যা বীজগাণিতিক সূত্রের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেও সমাধান করা যায়। পূর্বের শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো এবং উদাহরণের মাধ্যমে এদের কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো। এছাড়াও এ অধ্যায়ে বর্গ ও ঘনের সম্প্রসারণ, ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্রের গঠন ও প্রয়োগ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

বীজগাণিতিক রাশি

সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক এবং প্রক্রিয়া চিহ্ন এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়। যেমন, 2a + 3b - 4c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে a, b, c, p, g, r, m, n, x, y, z, … ইত্যাদি বর্ণের মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণকে ব্যবহার করা হয়। পাটিগণিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত (generalized) রূপ বলা হয়।

বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট। আর অক্ষর প্রতীকগুলো চলক (variables), এদের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

5x, 2x + 3y , 5x + 3y - z , 3b $\times$ c - y, 5x $÷$ 2 y + 9x - y ইত্যাদি এক একটি বীজগণিতীয় রাশি। প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সংখ্যাসূচক প্রতীক এর অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগণিতীয় রাশি বলা হয়। বীজগণিতীয় রাশির যে অংশ যোগ (+) ও বিয়োগ (-) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে, এদের প্রত্যেকটিকে ঐ রাশির পদ বলা হয়। যেমন, 4x + 3y একটি রাশি। রাশিটিতে 4.x ও 3y দুইটি পদ রয়েছে। এরা যোগ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত। আবার, 5x + 3y $÷$ c , 4b $\times$ 2y রাশিতে 5x, 3y$÷$ c, 4b $\times$ 2y তিনটি পদ আছে। 4x একটি একপদী, 2x + 3y একটি দ্বিপদী, a - 2b + 4c একটি ত্রিপদী রাশি।

সহগ: কোনো একপদী রাশিতে চলকের সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে। যেমন, 3x, 5y, 8xy, 9a ইত্যাদি একপদী রাশি এবং 3,5,8,9 যথাক্রমে এদের সহগ।

একপদী রাশির সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে না, তখন ঐ রাশির সহগ 1 ধরা হয়। যেমন, a, b, x, y ইত্যাদি একপদী রাশি এবং প্রত্যেকটির সহগ 1; কারণ,

a = 1a বা 1 $\times$ a; x = 1x বা 1$\times$x.

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে। যেমন, ax, by, mz ইত্যাদি রাশিতে ax = a $\times$ x, by = b$\times$y , mz = m$\times$z যেখানে, a,b ও m কে যথাক্রমে x, y ও z এর আক্ষরিক সহগ বলা হয়। আবার, 3x + by রাশিতে x এর সহগ 3 এবং y এর সহগ b.

উদাহরণ ৩। সহগ নির্ণয় কর:

(i) 8x
(ii) 7xy
(iii) $\frac{3}{2}ab$
(iv) axy
(v)-xyz

সমাধান :

(i) 8x = 8 $\times$ x

(ii) 7xy = 7 $\times$ xy

(iii) $\frac{3}{2}ab$ = $\frac{3}{2} \times ab$

(iv) axy = 1 $\times$ axy

(v) - xyz = - 1 $\times$ xyz

উদাহরণ ৪। x এর আক্ষরিক সহগ নির্ণয় কর:

(i) bx
(ii) pqx
(iii) mx + c
(iv) ax - bz

সমাধান:
(i) bx = bx

(ii) pqx = pq $\times$x

(iii) mx + c = m $\times$ x + c

(iv) ax - bz = a $\times$ x - bz

x এর সহগ b
x এর সহগ pq
x এর সহগ m
x এর সহগ a

উদাহরণ ৫। একটি কলমের দাম x টাকা, একটি খাতার দাম y টাকা এবং একটি ঘড়ির দাম z টাকা হলে, নিচের প্রতীকগুলো দ্বারা কী বোঝায়?

(i) 5x
(ii) 7y
(iii) 2x + 5y
(iv) x + y + z

সমাধান:

(i) 5.x দ্বারা 5টি কলমের দাম বোঝায়।
(ii) 7y দ্বারা 7টি খাতার দাম বোঝায়।

(iii) 2x + 5y দ্বারা 2টি কলমের দাম ও ১টি খাতার দামের সমষ্টি বোঝায়।
(iv) x+y+z দ্বারা একটি কলমের দাম, একটি খাতার দাম ও একটি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।
(v) 4x + 3z দ্বারা 4টি কলমের দাম ও 3টি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম y টাকা হলে,

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম ৮ টাকা হলে,
(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম কত?
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম কত?

সমাধান:

(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম (4x+6y) টাকা।
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম (7x+5y) টাকা।

উদাহরণ ৭:। প্লাবন ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং শ্রাবণ চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা।

(ক) প্লাবনের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর?
(খ) দুই জনের মোট খরচের পরিমান নির্ণয় কর।
(গ) যদি x=15 হয় এবং y=25 হয় তবে প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান:

(ক)

1টি কলমের দাম x টাকা
অতএব 6 টি কলমের দাম 6.x টাকা
আবার 1 টি খাতার দাম y টাকা
অতএব 3 টি খাতার দাম 3y টাকা
অতএব প্লাবনের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 6x+3y

(খ)

'ক' হতে প্রাপ্ত, প্লাবনের মোট খরচের বীজগনিতীয় রাশি 6x+3y
1 টি কলমের দাম x টাকা
অতএব, 4 টি কলমের দাম 4.x টাকা
আবার, 1টি খাতার দাম y টাকা
অতএব, 5 টি খাতার দাম 5y টাকা
অতএব, শ্রাবণের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 4.x+5y
সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে সাজিয়ে পাই
$6x+3y+4x+5y10x+8y$

দুইজনের মোট খরচের পরিমাণ (10x+8y) টাকা।

(গ) x=15 টাকা এবং y=25 টাকা

প্লাবণের মোট খরচের পরিমাণ = 6x+3y
= (6.15+3.25) টাকা।
= (90+75) টাকা
= 165 টাকা

শ্রাবণের মোট খরচের পরিমাণ 4x+5y

= (4.15+5.25) টাকা।
= (60+125) টাকা
= 185 টাকা

প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত= 165 : 185

= 33 : 37