f (x) = In(x-2) ফাংশনটির ডোমেইন ও রেঞ্জ হবে যথাক্রমেঃ

একটি ফাংশনের ডোমেইন (Domain) হলো স্বাধীন চলকের (Independent variable) সেই সকল সম্ভাব্য মান সেট যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হয়। রেঞ্জ (Range) হলো নির্ভরশীল চলকের (Dependent variable) সেই সকল সম্ভাব্য মান সেট যা ডোমেইন এর অন্তর্ভুক্ত মানগুলির জন্য পাওয়া যায়।

দেওয়া আছে, ফাংশনটি হলো \(f(x) = \ln(x-2)\)।

ডোমেইন নির্ণয়:

লগারিদমিক ফাংশন \(\ln(y)\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য এর আর্গুমেন্ট \(y\) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। অর্থাৎ, \(y > 0\)।

এখানে, আর্গুমেন্ট হলো \((x-2)\)।

সুতরাং, ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

অতএব, ফাংশনটির ডোমেইন হলো সকল বাস্তব সংখ্যা \(x\) যেখানে \(x > 2\)। এটিকে ব্যবধি আকারে প্রকাশ করলে হয় \((2, \infty)\)।

রেঞ্জ নির্ণয়:

সাধারণ লগারিদমিক ফাংশন \(y = \ln(x)\) এর রেঞ্জ হলো সকল বাস্তব সংখ্যা। অর্থাৎ, \((-\infty, \infty)\) বা \(\mathbb{R}\)।

যেহেতু \(x-2\) এর মান \(0\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত হতে পারে (যখন \(x > 2\)), তখন \(\ln(x-2)\) এর মান \((-\infty, \infty)\) পর্যন্ত হতে পারে। একটি লগারিদমিক ফাংশনের অনুভূমিক সরণ (horizontal shift) তার রেঞ্জের উপর প্রভাব ফেলে না।

অতএব, ফাংশনটির রেঞ্জ হলো \(\mathbb{R}\) (সকল বাস্তব সংখ্যা)।

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেইন হলো \((2, \infty)\) এবং রেঞ্জ হলো \(\mathbb{R}\)।